Номер 187, страница 91 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

187. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на эту прямую равны 3 см и 7 см. Найдите расстояние от точки до данной прямой, если сумма наклонных равна 28 см.

187. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на эту прямую равны 3 см и 7 см. Найдите расстояние от точки до данной прямой, если сумма наклонных равна 28 см.

Пусть $h$ — искомое расстояние от точки до прямой, то есть длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Пусть $d_1$ и $d_2$ — длины двух наклонных, а $p_1 = 3$ см и $p_2 = 7$ см — длины их проекций на эту прямую.

По условию задачи, сумма длин наклонных равна 28 см:$d_1 + d_2 = 28$ см.

Каждая наклонная, её проекция и перпендикуляр $h$ образуют прямоугольный треугольник, где наклонная является гипотенузой, а перпендикуляр и проекция — катетами. Применим теорему Пифагора для двух таких треугольников:

1) $d_1^2 = h^2 + p_1^2 \implies d_1^2 = h^2 + 3^2 = h^2 + 9$

2) $d_2^2 = h^2 + p_2^2 \implies d_2^2 = h^2 + 7^2 = h^2 + 49$

Вычтем первое уравнение из второго:$d_2^2 - d_1^2 = (h^2 + 49) - (h^2 + 9)$$d_2^2 - d_1^2 = 40$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:$(d_2 - d_1)(d_2 + d_1) = 40$

Подставим известное значение суммы наклонных $d_1 + d_2 = 28$:$(d_2 - d_1) \cdot 28 = 40$$d_2 - d_1 = \frac{40}{28} = \frac{10}{7}$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $d_1$ и $d_2$:
$d_2 + d_1 = 28$
$d_2 - d_1 = \frac{10}{7}$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $d_2$:$2d_2 = 28 + \frac{10}{7} = \frac{196 + 10}{7} = \frac{206}{7}$$d_2 = \frac{103}{7}$ см.

Теперь подставим значение $d_2$ в одно из уравнений, чтобы найти $d_1$:$d_1 = 28 - d_2 = 28 - \frac{103}{7} = \frac{196 - 103}{7} = \frac{93}{7}$ см.

Зная длины наклонных, мы можем найти $h$ из любого уравнения Пифагора. Возьмем первое:$d_1^2 = h^2 + 9$$(\frac{93}{7})^2 = h^2 + 9$$\frac{8649}{49} = h^2 + 9$$h^2 = \frac{8649}{49} - 9 = \frac{8649 - 9 \cdot 49}{49} = \frac{8649 - 441}{49} = \frac{8208}{49}$

Теперь найдем $h$, извлекая квадратный корень:$h = \sqrt{\frac{8208}{49}} = \frac{\sqrt{8208}}{7}$

Упростим корень из 8208, разложив число на множители: $8208 = 144 \cdot 57$.$\sqrt{8208} = \sqrt{144 \cdot 57} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{57} = 12\sqrt{57}$

Таким образом, искомое расстояние равно:$h = \frac{12\sqrt{57}}{7}$ см.

Ответ: $\frac{12\sqrt{57}}{7}$ см.