Номер 189, страница 91 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

189. Две окружности, радиусы которых равны 2 см и 8 см, имеют одну общую точку $M$ (рис. 114). Прямая $a$ касается этих окружностей в точках $C$ и $D$. Найдите отрезок $CD$.

Рис. 114

189. Две окружности, радиусы которых равны 2 см и 8 см, имеют одну общую точку $M$ (рис. 114). Прямая $a$ касается этих окружностей в точках $C$ и $D$. Найдите отрезок $CD$.

Рис. 114

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры данных окружностей, а $r_1$ и $r_2$ — их радиусы. По условию, $r_1 = 2$ см и $r_2 = 8$ см. Окружности имеют одну общую точку $M$, следовательно, они касаются друг друга. Из рисунка видно, что касание внешнее. В этом случае расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов:

$O_1O_2 = r_1 + r_2 = 2 + 8 = 10$ см.

Проведем радиусы $O_1C$ и $O_2D$ в точки касания с прямой $a$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $O_1C \perp CD$ и $O_2D \perp CD$.

Поскольку прямые $O_1C$ и $O_2D$ перпендикулярны одной и той же прямой $CD$, они параллельны друг другу: $O_1C \parallel O_2D$. Следовательно, четырехугольник $CO_1O_2D$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1C$ и $O_2D$ и прямыми углами при вершинах $C$ и $D$.

Проведем из точки $O_1$ высоту $O_1K$ на основание $O_2D$. То есть, опустим перпендикуляр из $O_1$ на $O_2D$. Четырехугольник $CO_1KD$ является прямоугольником, так как все его углы прямые. Из этого следует, что противолежащие стороны равны:

$CD = O_1K$

$DK = O_1C = r_1 = 2$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1KO_2$ (угол $K$ прямой по построению). Найдем длины его сторон:

• Гипотенуза $O_1O_2 = 10$ см.
• Катет $O_2K = O_2D - DK = r_2 - r_1 = 8 - 2 = 6$ см.
• Катет $O_1K$ — это искомая длина отрезка $CD$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle O_1KO_2$:

$O_1O_2^2 = O_1K^2 + O_2K^2$

Подставим известные значения:

$10^2 = O_1K^2 + 6^2$

$100 = O_1K^2 + 36$

$O_1K^2 = 100 - 36 = 64$

$O_1K = \sqrt{64} = 8$ см.

Так как $CD = O_1K$, то $CD = 8$ см.

Ответ: 8 см.