Номер 188, страница 91 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

188. В равнобокую трапецию вписана окружность. Найдите радиус этой окружности, если сумма оснований трапеции равна 50 см, а разность оснований — 14 см.

188. В равнобокую трапецию вписана окружность. Найдите радиус этой окружности, если сумма оснований трапеции равна 50 см, а разность оснований — 14 см.

Пусть основания равнобокой трапеции равны $a$ и $b$ ($a > b$), а боковая сторона равна $c$.Согласно условию, сумма оснований $a + b = 50$ см, а их разность $a - b = 14$ см.

Решим систему из двух уравнений:
$\begin{cases} a + b = 50 \\ a - b = 14 \end{cases}$
Сложив эти два уравнения, получим:
$2a = 64$
$a = 32$ см.
Подставим значение $a$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:
$32 + b = 50$
$b = 50 - 32 = 18$ см.
Итак, основания трапеции равны 32 см и 18 см.

Так как в трапецию вписана окружность, то суммы ее противолежащих сторон равны. Для равнобокой трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон:
$a + b = c + c = 2c$
$50 = 2c$
$c = 25$ см.

Высота трапеции $h$ является диаметром вписанной окружности ($h = 2r$), где $r$ — искомый радиус. Чтобы найти высоту, проведем ее из вершины меньшего основания к большему. В результате образуется прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона $c$, одним катетом — высота $h$, а вторым катетом — отрезок, равный полуразности оснований.
Длина второго катета равна:
$\frac{a-b}{2} = \frac{32-18}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см.

По теореме Пифагора найдем высоту $h$:
$h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 = c^2$
$h^2 + 7^2 = 25^2$
$h^2 + 49 = 625$
$h^2 = 625 - 49 = 576$
$h = \sqrt{576} = 24$ см.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции:
$r = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Ответ: 12 см.