Номер 191, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

191. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит один из катетов на отрезки длиной 15 см и 25 см. Найдите периметр треугольника.

191. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит один из катетов на отрезки длиной 15 см и 25 см. Найдите периметр треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник, катеты которого равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. По условию задачи, биссектриса одного из острых углов делит один из катетов на отрезки длиной 15 см и 25 см. Это означает, что общая длина этого катета составляет $15 + 25 = 40$ см.

Рассмотрим возможный случай. Пусть катет $a = 40$ см. Биссектриса противолежащего этому катету острого угла делит его на отрезки 15 см и 25 см. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим прилежащим сторонам. В нашем случае, это отношение гипотенузы $c$ ко второму катету $b$:

$\frac{c}{b} = \frac{25}{15}$

Мы берем отношение большего отрезка (25 см) к меньшему (15 см), так как гипотенуза $c$ всегда длиннее катета $b$. Упростим это отношение:

$\frac{c}{b} = \frac{5}{3}$

Из этого соотношения выразим гипотенузу через катет $b$: $c = \frac{5}{3}b$.

Теперь применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$ для данного треугольника, подставив известные значения:

$40^2 + b^2 = (\frac{5}{3}b)^2$

Решим полученное уравнение:

$1600 + b^2 = \frac{25}{9}b^2$

$1600 = \frac{25}{9}b^2 - b^2$

$1600 = (\frac{25}{9} - 1)b^2$

$1600 = \frac{16}{9}b^2$

$b^2 = \frac{1600 \cdot 9}{16} = 100 \cdot 9 = 900$

$b = \sqrt{900} = 30$ см.

Мы нашли длину второго катета. Теперь найдем длину гипотенузы:

$c = \frac{5}{3}b = \frac{5}{3} \cdot 30 = 50$ см.

Итак, стороны прямоугольного треугольника равны 30 см, 40 см и 50 см. (Если бы мы изначально предположили, что катет $b=40$ см, то пришли бы к тому же результату для сторон треугольника).

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:

$P = 30 + 40 + 50 = 120$ см.

Ответ: 120 см.