Номер 192, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

192. Постройте отрезок $x$, если $x = \sqrt{9a^2 - b^2}$, где $a$ и $b$ — длины данных отрезков $(a > b)$.

192. Постройте отрезок x, если $x = \sqrt{9a^2 - b^2}$, где a и b — длины данных отрезков ($a > b$).

Для построения отрезка $x$, заданного формулой $x = \sqrt{9a^2 - b^2}$, преобразуем это выражение. Возведя обе части в квадрат, получим $x^2 = 9a^2 - b^2$. Перенесем $b^2$ в левую часть: $x^2 + b^2 = 9a^2$. Это уравнение можно записать в виде $x^2 + b^2 = (3a)^2$.

Данное равенство является представлением теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна $3a$, а катеты равны $x$ и $b$. Таким образом, задача сводится к построению такого треугольника, и один из его катетов будет искомым отрезком $x$. Для того чтобы построение было возможно, необходимо выполнение условия $3a > b$.

Алгоритм построения (с помощью циркуля и линейки без делений):
1. Построение отрезка длиной $3a$. На произвольной прямой от некоторой точки откладываем циркулем три раза подряд отрезок, равный по длине данному отрезку $a$. Полученный отрезок будет иметь длину $3a$.
2. Построение прямого угла. Проводим произвольную прямую и отмечаем на ней точку $C$. Восстанавливаем в точке $C$ перпендикуляр к этой прямой. Мы получили две перпендикулярные прямые, образующие прямой угол с вершиной в точке $C$.
3. Построение треугольника. На одной из сторон прямого угла от вершины $C$ откладываем отрезок $CB$, равный по длине данному отрезку $b$. Затем из точки $B$ как из центра проводим дугу окружности радиусом, равным построенной ранее длине $3a$. Точка пересечения этой дуги со второй стороной прямого угла будет точкой $A$.
4. Искомый отрезок. Соединяем точки $A$ и $C$. Отрезок $AC$ и является искомым отрезком $x$.

В построенном прямоугольном треугольнике $ABC$ (с прямым углом $C$) гипотенуза $AB$ по построению равна $3a$, а катет $BC$ равен $b$. Согласно теореме Пифагора, второй катет $AC$ будет иметь длину, равную $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(3a)^2 - b^2} = \sqrt{9a^2 - b^2}$. Следовательно, отрезок $AC$ и есть искомый отрезок $x$.

Ответ: Искомый отрезок $x$ является катетом прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна $3a$, а другой катет равен $b$.