Номер 185, страница 91 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

185. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = AC$) проведена высота $CH$. Известно, что $AH = 5$ см, $BH = 15$ см. Найдите основание $BC$ треугольника. Сколько решений имеет задача?

185. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = AC$) проведена высота $CH$. Известно, что $AH = 5$ см, $BH = 15$ см.Найдите основание $BC$ треугольника. Сколько решений имеет задача?

Задача имеет два решения в зависимости от расположения точки H (основания высоты) на прямой, содержащей сторону AB. Точка H может лежать на отрезке AB (если угол A острый) или на продолжении отрезка AB за точку A (если угол A тупой).

Случай 1. Точка H лежит на стороне AB.

В этом случае длина боковой стороны AB равна сумме длин отрезков AH и BH:

$AB = AH + BH = 5 + 15 = 20$ см.

Так как треугольник ABC равнобедренный и $AB = AC$, то $AC = 20$ см.

Высота CH образует два прямоугольных треугольника: AHC и BHC.

В прямоугольном треугольнике AHC по теореме Пифагора найдем квадрат высоты CH:

$CH^2 = AC^2 - AH^2 = 20^2 - 5^2 = 400 - 25 = 375$.

В прямоугольном треугольнике BHC по теореме Пифагора найдем основание BC:

$BC^2 = BH^2 + CH^2 = 15^2 + 375 = 225 + 375 = 600$.

$BC = \sqrt{600} = \sqrt{100 \cdot 6} = 10\sqrt{6}$ см.

Ответ: $10\sqrt{6}$ см.

Случай 2. Точка H лежит на продолжении стороны AB за точку A.

В этом случае угол A треугольника ABC — тупой. Длина боковой стороны AB равна разности длин отрезков BH и AH:

$AB = BH - AH = 15 - 5 = 10$ см.

Так как треугольник ABC равнобедренный и $AB = AC$, то $AC = 10$ см.

В прямоугольном треугольнике AHC по теореме Пифагора найдем квадрат высоты CH:

$CH^2 = AC^2 - AH^2 = 10^2 - 5^2 = 100 - 25 = 75$.

В прямоугольном треугольнике BHC по теореме Пифагора найдем основание BC:

$BC^2 = BH^2 + CH^2 = 15^2 + 75 = 225 + 75 = 300$.

$BC = \sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}$ см.

Ответ: $10\sqrt{3}$ см.

Таким образом, задача имеет два решения.