Номер 178, страница 90 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

178. Найдите длину неизвестного отрезка x на рисунке 113 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 113

a) A, B, C, D. AC = $9$, AD = $6$, CB = $15$, DB = $x$. Угол $\angle CDA$ прямой.

б) A, B, C, D. AB = $3$, AD = $8$, CD = $9$, BC = $x$. Углы $\angle DAB$ и $\angle BCD$ прямые.

178. Найдите длину неизвестного отрезка x на рисунке 113 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 113

a

$AC = 9$, $AD = 6$, $BC = 15$, $BD = x$

б

$AB = 3$, $BC = 8$, $CD = 9$, $AD = x$

а

В задаче даны два прямоугольных треугольника, ADC и BDC, с общей стороной (катетом) CD.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. По теореме Пифагора найдем квадрат катета CD:

$AC^2 = AD^2 + CD^2$

$9^2 = 6^2 + CD^2$

$81 = 36 + CD^2$

$CD^2 = 81 - 36$

$CD^2 = 45$

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. Зная $CD^2$ и гипотенузу BC, по теореме Пифагора найдем катет DB (обозначенный как x):

$BC^2 = CD^2 + DB^2$

$15^2 = 45 + x^2$

$225 = 45 + x^2$

$x^2 = 225 - 45$

$x^2 = 180$

3. Найдем значение x, извлекая квадратный корень:

$x = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$

Ответ: $6\sqrt{5}$ см.

б

Фигура на рисунке представляет собой прямоугольную трапецию ACDB с основаниями $AB = 3$ и $CD = 9$, и высотой $AC = 8$. Необходимо найти длину диагонали BD (обозначенную как x).

1. Проведем из вершины B высоту BH на основание CD. Так как ACDB — прямоугольная трапеция с прямыми углами A и C, то ABHC — прямоугольник.

2. Из свойств прямоугольника следует, что противолежащие стороны равны:

$BH = AC = 8$

$CH = AB = 3$

3. Найдем длину отрезка HD на большем основании:

$HD = CD - CH = 9 - 3 = 6$

4. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник BHD с катетами $BH = 8$ и $HD = 6$. Гипотенуза этого треугольника — искомый отрезок BD (x). Применим теорему Пифагора:

$BD^2 = BH^2 + HD^2$

$x^2 = 8^2 + 6^2$

$x^2 = 64 + 36$

$x^2 = 100$

$x = \sqrt{100} = 10$

Ответ: 10 см.