Номер 179, страница 90 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

179. Диагональ равнобокой трапеции равна 15 см, а средняя линия — 4 см. Найдите высоту трапеции.

179. Диагональ равнобокой трапеции равна 15 см, а средняя линия — 4 см. Найдите высоту трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD$ — большее основание. Диагональ $AC = d = 15$ см, а средняя линия $m = 4$ см. Необходимо найти высоту трапеции $h$.

Средняя линия трапеции вычисляется по формуле:$m = \frac{AD + BC}{2}$Из условия известно, что $m = 4$ см, следовательно, полусумма оснований равна 4 см.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$, в котором $AC$ — гипотенуза, $CH$ и $AH$ — катеты. Высота трапеции $h$ равна катету $CH$.

Для нахождения высоты найдем длину катета $AH$.В равнобокой трапеции проекция диагонали на большее основание равна средней линии. Докажем это.Проведем вторую высоту $BK$ из вершины $B$ на основание $AD$. Так как трапеция равнобокая, отрезки $AK$ и $HD$ равны: $AK = HD = \frac{AD - BC}{2}$.Длина отрезка $AH$ равна:$AH = AD - HD = AD - \frac{AD - BC}{2} = \frac{2 \cdot AD - (AD - BC)}{2} = \frac{2 \cdot AD - AD + BC}{2} = \frac{AD + BC}{2}$Таким образом, $AH$ равен средней линии трапеции:$AH = m = 4$ см.

Теперь, имея два элемента прямоугольного треугольника $ACH$ (гипотенузу $AC=15$ см и катет $AH=4$ см), можем найти второй катет $CH$ (высоту трапеции) по теореме Пифагора:$AC^2 = AH^2 + CH^2$$d^2 = m^2 + h^2$Подставим известные значения:$15^2 = 4^2 + h^2$$225 = 16 + h^2$$h^2 = 225 - 16$$h^2 = 209$$h = \sqrt{209}$ см.

Ответ: $\sqrt{209}$ см.