Страница 90 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

176. Сторона ромба равна 17 см, а одна из его диагоналей — 16 см. Найдите вторую диагональ ромба.

176. Сторона ромба равна 17 см, а одна из его диагоналей — 16 см. Найдите вторую диагональ ромба.

Пусть сторона ромба равна $a$, а его диагонали — $d_1$ и $d_2$. По условию задачи имеем: $a = 17$ см и $d_1 = 16$ см.

Ключевым свойством ромба является то, что его диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Это значит, что ромб разделяется диагоналями на четыре равных прямоугольных треугольника. В каждом таком треугольнике гипотенузой является сторона ромба $a$, а катетами — половины диагоналей, то есть $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.

Найдем половину известной диагонали:

$\frac{d_1}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Применим теорему Пифагора к одному из этих треугольников: $a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$. Подставим известные значения и найдем половину второй диагонали:

$17^2 = 8^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

$289 = 64 + (\frac{d_2}{2})^2$

$(\frac{d_2}{2})^2 = 289 - 64$

$(\frac{d_2}{2})^2 = 225$

$\frac{d_2}{2} = \sqrt{225} = 15$ см.

Таким образом, полная длина второй диагонали равна удвоенной длине ее половины:

$d_2 = 2 \times 15 = 30$ см.

Ответ: 30 см.

177. Две стороны прямоугольного треугольника равны 7 см и 10 см. Найдите третью сторону треугольника. Сколько решений имеет задача?

177. Две стороны прямоугольного треугольника равны 7 см и 10 см. Найдите третью сторону треугольника. Сколько решений имеет задача?

В данной задаче необходимо рассмотреть два возможных случая, так как в условии не указано, какие именно стороны прямоугольного треугольника даны (катеты или катет и гипотенуза). Для решения в обоих случаях используется теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.

Случай 1: Данные стороны (7 см и 10 см) являются катетами.

В этом случае мы ищем гипотенузу $c$. Пусть катеты $a = 7$ см и $b = 10$ см. Подставим значения в теорему Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c^2 = 7^2 + 10^2 = 49 + 100 = 149$

Следовательно, длина третьей стороны (гипотенузы) равна $c = \sqrt{149}$ см.

Случай 2: Одна из данных сторон — катет, а другая — гипотенуза.

Гипотенуза всегда является самой длинной стороной в прямоугольном треугольнике. Поскольку 10 см > 7 см, гипотенузой может быть только сторона длиной 10 см. Тогда сторона длиной 7 см является одним из катетов. Пусть гипотенуза $c = 10$ см, а один из катетов $a = 7$ см. Найдем второй катет $b$:

$a^2 + b^2 = c^2$

$7^2 + b^2 = 10^2$

$b^2 = 10^2 - 7^2 = 100 - 49 = 51$

Следовательно, длина третьей стороны (второго катета) равна $b = \sqrt{51}$ см.

Поскольку мы нашли два различных возможных значения для третьей стороны, задача имеет два решения.

Ответ: третья сторона треугольника может быть равна $\sqrt{149}$ см или $\sqrt{51}$ см. Задача имеет 2 решения.

178. Найдите длину неизвестного отрезка x на рисунке 113 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 113

a) A, B, C, D. AC = $9$, AD = $6$, CB = $15$, DB = $x$. Угол $\angle CDA$ прямой.

б) A, B, C, D. AB = $3$, AD = $8$, CD = $9$, BC = $x$. Углы $\angle DAB$ и $\angle BCD$ прямые.

178. Найдите длину неизвестного отрезка x на рисунке 113 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 113

a

$AC = 9$, $AD = 6$, $BC = 15$, $BD = x$

б

$AB = 3$, $BC = 8$, $CD = 9$, $AD = x$

а

В задаче даны два прямоугольных треугольника, ADC и BDC, с общей стороной (катетом) CD.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. По теореме Пифагора найдем квадрат катета CD:

$AC^2 = AD^2 + CD^2$

$9^2 = 6^2 + CD^2$

$81 = 36 + CD^2$

$CD^2 = 81 - 36$

$CD^2 = 45$

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. Зная $CD^2$ и гипотенузу BC, по теореме Пифагора найдем катет DB (обозначенный как x):

$BC^2 = CD^2 + DB^2$

$15^2 = 45 + x^2$

$225 = 45 + x^2$

$x^2 = 225 - 45$

$x^2 = 180$

3. Найдем значение x, извлекая квадратный корень:

$x = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$

Ответ: $6\sqrt{5}$ см.

б

Фигура на рисунке представляет собой прямоугольную трапецию ACDB с основаниями $AB = 3$ и $CD = 9$, и высотой $AC = 8$. Необходимо найти длину диагонали BD (обозначенную как x).

1. Проведем из вершины B высоту BH на основание CD. Так как ACDB — прямоугольная трапеция с прямыми углами A и C, то ABHC — прямоугольник.

2. Из свойств прямоугольника следует, что противолежащие стороны равны:

$BH = AC = 8$

$CH = AB = 3$

3. Найдем длину отрезка HD на большем основании:

$HD = CD - CH = 9 - 3 = 6$

4. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник BHD с катетами $BH = 8$ и $HD = 6$. Гипотенуза этого треугольника — искомый отрезок BD (x). Применим теорему Пифагора:

$BD^2 = BH^2 + HD^2$

$x^2 = 8^2 + 6^2$

$x^2 = 64 + 36$

$x^2 = 100$

$x = \sqrt{100} = 10$

Ответ: 10 см.

179. Диагональ равнобокой трапеции равна 15 см, а средняя линия — 4 см. Найдите высоту трапеции.

179. Диагональ равнобокой трапеции равна 15 см, а средняя линия — 4 см. Найдите высоту трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD$ — большее основание. Диагональ $AC = d = 15$ см, а средняя линия $m = 4$ см. Необходимо найти высоту трапеции $h$.

Средняя линия трапеции вычисляется по формуле:$m = \frac{AD + BC}{2}$Из условия известно, что $m = 4$ см, следовательно, полусумма оснований равна 4 см.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$, в котором $AC$ — гипотенуза, $CH$ и $AH$ — катеты. Высота трапеции $h$ равна катету $CH$.

Для нахождения высоты найдем длину катета $AH$.В равнобокой трапеции проекция диагонали на большее основание равна средней линии. Докажем это.Проведем вторую высоту $BK$ из вершины $B$ на основание $AD$. Так как трапеция равнобокая, отрезки $AK$ и $HD$ равны: $AK = HD = \frac{AD - BC}{2}$.Длина отрезка $AH$ равна:$AH = AD - HD = AD - \frac{AD - BC}{2} = \frac{2 \cdot AD - (AD - BC)}{2} = \frac{2 \cdot AD - AD + BC}{2} = \frac{AD + BC}{2}$Таким образом, $AH$ равен средней линии трапеции:$AH = m = 4$ см.

Теперь, имея два элемента прямоугольного треугольника $ACH$ (гипотенузу $AC=15$ см и катет $AH=4$ см), можем найти второй катет $CH$ (высоту трапеции) по теореме Пифагора:$AC^2 = AH^2 + CH^2$$d^2 = m^2 + h^2$Подставим известные значения:$15^2 = 4^2 + h^2$$225 = 16 + h^2$$h^2 = 225 - 16$$h^2 = 209$$h = \sqrt{209}$ см.

Ответ: $\sqrt{209}$ см.

180. В равнобокой трапеции $ABCD$ боковая сторона равна 10 см, а высота $BF$ делит основание $AD$ на отрезки, меньший из которых равен 6 см. Найдите большее основание трапеции, если её диагональ равна 17 см.

180. В равнобокой трапеции $ABCD$ боковая сторона равна 10 см, а высота $BF$ делит основание $AD$ на отрезки, меньший из которых равен 6 см. Найдите большее основание трапеции, если её диагональ равна 17 см.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, боковая сторона $AB = 10$ см. Высота $BF$, опущенная на основание $AD$, делит его на два отрезка: $AF$ и $FD$.

В равнобокой трапеции отрезок, отсекаемый высотой от большего основания (в данном случае $AF$), равен полуразности оснований, а второй отрезок ($FD$) равен полусумме оснований. Так как основания имеют положительную длину, то отрезок, равный полуразности, всегда меньше отрезка, равного полусумме. Следовательно, меньший из отрезков, о котором говорится в условии, это $AF$, и его длина равна 6 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABF$ (угол $\angle AFB = 90^\circ$, так как $BF$ — высота). В нём известны гипотенуза $AB = 10$ см и катет $AF = 6$ см. По теореме Пифагора найдем длину второго катета, который является высотой трапеции $BF$:
$BF^2 = AB^2 - AF^2$
$BF = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BFD$ (угол $\angle BFD = 90^\circ$). В нём известны диагональ $BD$ (которая является гипотенузой) $BD = 17$ см и катет $BF = 8$ см. По теореме Пифагора найдем длину второго катета $FD$:
$FD^2 = BD^2 - BF^2$
$FD = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.

Большее основание $AD$ состоит из суммы длин отрезков $AF$ и $FD$. Найдем его длину:
$AD = AF + FD = 6 + 15 = 21$ см.

Ответ: 21 см.

181. Катеты прямоугольного треугольника относятся как $12:5$, а гипотенуза равна 39 см. Найдите катеты треугольника.

181. Катеты прямоугольного треугольника относятся как $12 : 5$, а гипотенуза равна $39$ см. Найдите катеты треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c.

По условию задачи, отношение катетов равно 12 : 5. Это можно записать, введя коэффициент пропорциональности x:

$a = 12x$

$b = 5x$

Гипотенуза, по условию, равна 39 см, то есть $c = 39$.

Для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим в это уравнение выражения для катетов и значение гипотенузы:

$(12x)^2 + (5x)^2 = 39^2$

Выполним возведение в степень:

$144x^2 + 25x^2 = 1521$

Сложим подобные члены в левой части уравнения:

$169x^2 = 1521$

Теперь найдем $x^2$:

$x^2 = \frac{1521}{169}$

$x^2 = 9$

Извлечем квадратный корень. Так как x представляет собой коэффициент для длин сторон, он должен быть положительным:

$x = \sqrt{9} = 3$

Теперь, зная значение x, мы можем найти длины катетов:

Первый катет: $a = 12x = 12 \cdot 3 = 36$ см.

Второй катет: $b = 5x = 5 \cdot 3 = 15$ см.

Ответ: катеты треугольника равны 36 см и 15 см.

182. Боковая сторона равнобедренного треугольника относится к высоте, проведённой к основанию, как $5:4$. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 48 см.

182. Боковая сторона равнобедренного треугольника относится к высоте, проведённой к основанию, как $5 : 4$. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 48 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна $b$, а высота, проведённая к основанию, равна $h$. Основание треугольника обозначим как $a$.

По условию задачи, отношение боковой стороны к высоте, проведённой к основанию, составляет 5:4. Это можно записать как:
$\frac{b}{h} = \frac{5}{4}$
Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда боковая сторона $b = 5x$, а высота $h = 4x$.

Высота в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой. Она делит основание на два равных отрезка. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), высотой (катет) и половиной основания (второй катет).

По теореме Пифагора найдем половину основания $(\frac{a}{2})$:
$b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$
Подставим наши выражения через $x$:
$(5x)^2 = (4x)^2 + (\frac{a}{2})^2$
$25x^2 = 16x^2 + (\frac{a}{2})^2$
$(\frac{a}{2})^2 = 25x^2 - 16x^2$
$(\frac{a}{2})^2 = 9x^2$
$\frac{a}{2} = \sqrt{9x^2} = 3x$

Следовательно, всё основание $a$ равно:
$a = 2 \cdot 3x = 6x$

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:
$P = b + b + a = 2b + a$
По условию, периметр равен 48 см. Подставим выражения для сторон через $x$ в формулу периметра и составим уравнение:
$2 \cdot (5x) + 6x = 48$
$10x + 6x = 48$
$16x = 48$
$x = \frac{48}{16}$
$x = 3$

Теперь, зная значение $x$, найдем длины сторон треугольника:
Боковая сторона: $b = 5x = 5 \cdot 3 = 15$ см.
Основание: $a = 6x = 6 \cdot 3 = 18$ см.
Таким образом, стороны треугольника равны 15 см, 15 см и 18 см.

Ответ: боковые стороны треугольника равны 15 см, основание равно 18 см.

183. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а один из катетов — 7 см. Найдите медиану треугольника, проведённую к другому катету.

183. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а один из катетов — 7 см. Найдите медиану треугольника, проведённую к другому катету.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$.

По условию задачи, гипотенуза $c = 25$ см, а один из катетов, пусть это будет катет $a$, равен $a = 7$ см.

1. Найдем длину второго катета $b$.

Воспользуемся теоремой Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Выразим из формулы $b^2$:

$b^2 = c^2 - a^2$

Подставим известные значения:

$b^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$

$b = \sqrt{576} = 24$ см.

Итак, второй катет равен 24 см.

2. Найдем медиану, проведенную к другому катету (катету $b$).

Обозначим эту медиану как $m_b$. Медиана, проведенная к катету $b$, соединяет вершину, противолежащую этому катету, с его серединой. Эта медиана вместе с катетом $a$ и половиной катета $b$ образует новый прямоугольный треугольник, в котором медиана $m_b$ является гипотенузой, а катетами служат $a$ и $\frac{b}{2}$.

Применим теорему Пифагора для этого нового треугольника:

$m_b^2 = a^2 + (\frac{b}{2})^2$

Подставим значения $a=7$ и $b=24$:

$m_b^2 = 7^2 + (\frac{24}{2})^2$

$m_b^2 = 7^2 + 12^2$

$m_b^2 = 49 + 144$

$m_b^2 = 193$

$m_b = \sqrt{193}$ см.

Ответ: $\sqrt{193}$ см.

184. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 13$ см, $BC = 20$ см, а высота $CD = 12$ см. Найдите сторону $AB$ треугольника. Сколько решений имеет задача?

184. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 13$ см, $BC = 20$ см, а высота $CD$ равна 12 см. Найдите сторону $AB$ треугольника. Сколько решений имеет задача?

Пусть $CD$ — высота треугольника $ABC$, опущенная на прямую, содержащую сторону $AB$. По определению высоты, $CD \perp AB$, следовательно, треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle BDC$ являются прямоугольными с общим катетом $CD = 12$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$. По теореме Пифагора, $AC^2 = AD^2 + CD^2$. Найдем длину катета $AD$:
$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$
$AD = \sqrt{25} = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BDC$. По теореме Пифагора, $BC^2 = BD^2 + CD^2$. Найдем длину катета $BD$:
$BD^2 = BC^2 - CD^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$
$BD = \sqrt{256} = 16$ см.

Длина стороны $AB$ зависит от расположения точки $D$ (основания высоты) на прямой $AB$. Существует два возможных случая.

Случай 1: Точка D лежит между точками A и B.
Это соответствует случаю, когда углы $\angle A$ и $\angle B$ в треугольнике $ABC$ острые. В этом случае длина стороны $AB$ является суммой длин отрезков $AD$ и $BD$.
$AB = AD + BD = 5 + 16 = 21$ см.

Случай 2: Точка D лежит вне отрезка AB.
Это соответствует случаю, когда один из углов при основании $AB$ является тупым. Поскольку $BD > AD$, возможен только вариант, когда точка $A$ лежит между точками $B$ и $D$ (то есть, угол $\angle A$ тупой). В этом случае длина стороны $AB$ равна разности длин отрезков $BD$ и $AD$.
$AB = BD - AD = 16 - 5 = 11$ см.
(Случай, когда точка $B$ лежит между $A$ и $D$, невозможен, так как привел бы к отрицательной длине $AB = AD - BD = 5 - 16 = -11$ см).

Найдите сторону AB треугольника.
Таким образом, сторона $AB$ может иметь два возможных значения в зависимости от конфигурации треугольника.
Ответ: 21 см или 11 см.

Сколько решений имеет задача?
Так как мы получили два различных и геометрически возможных значения для длины стороны $AB$, задача имеет два решения.
Ответ: 2 решения.