Страница 88 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

157. Докажите, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, изображённые на рисунке 111, подобны (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 111

Для $\triangle ABC$:

$AB = 6$

$BC = 7$

$AC = 8$

Для $\triangle A_1B_1C_1$:

$A_1B_1 = 18$

$B_1C_1 = 21$

$A_1C_1 = 24$

157. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, изображённые на рисунке 111, подобны (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 111

$AB=6$

$BC=7$

$AC=8$

$A_1B_1=18$

$B_1C_1=21$

$A_1C_1=24$

Для доказательства подобия треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ воспользуемся третьим признаком подобия треугольников (по трем сторонам). Согласно этому признаку, два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трем соответствующим сторонам другого.

Из рисунка известны длины сторон обоих треугольников:
Для $ \triangle ABC $: $AB = 6$ см, $BC = 7$ см, $AC = 8$ см.
Для $ \triangle A_1B_1C_1 $: $A_1B_1 = 18$ см, $B_1C_1 = 21$ см, $A_1C_1 = 24$ см.

Теперь проверим пропорциональность соответствующих сторон. Для этого найдем отношения длин сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого. Соответствующими будут стороны, занимающие одинаковое положение относительно других сторон (наименьшая к наименьшей, средняя к средней, наибольшая к наибольшей).

1. Найдем отношение длин наименьших сторон:
$ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{18}{6} = 3 $

2. Найдем отношение длин средних сторон:
$ \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{21}{7} = 3 $

3. Найдем отношение длин наибольших сторон:
$ \frac{A_1C_1}{AC} = \frac{24}{8} = 3 $

Так как все три отношения равны одному и тому же числу, мы можем записать:
$ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC} = 3 $

Это означает, что стороны треугольника $A_1B_1C_1$ пропорциональны сторонам треугольника $ABC$ с коэффициентом подобия $k=3$. Следовательно, по третьему признаку подобия, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны ($ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $). Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, так как их соответствующие стороны пропорциональны: $ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC} = 3 $.

158. Подобны ли треугольники, если их стороны равны:

1) 6 см, 10 см, 7 см и 30 см, 50 см, 35 см;

2) 6 см, 15 см, 12 см и 12 см, 30 см, 26 см?

158. Подобны ли треугольники, если их стороны равны:

1) 6 см, 10 см, 7 см и 30 см, 50 см, 35 см;

2) 6 см, 15 см, 12 см и 12 см, 30 см, 26 см?

Для того чтобы определить, подобны ли два треугольника по трём сторонам, необходимо проверить, пропорциональны ли их соответствующие стороны. Это третий признак подобия треугольников. Для проверки нужно упорядочить стороны каждого треугольника по возрастанию и составить отношения длин наименьших сторон, средних сторон и наибольших сторон. Если все три отношения равны, то треугольники подобны.

1)

Рассмотрим треугольники со сторонами $6$ см, $10$ см, $7$ см и $30$ см, $50$ см, $35$ см.

Упорядочим стороны первого треугольника по возрастанию: $6$ см, $7$ см, $10$ см.

Упорядочим стороны второго треугольника по возрастанию: $30$ см, $35$ см, $50$ см.

Теперь найдем отношения длин соответствующих сторон:

• Отношение наименьших сторон: $\frac{6}{30} = \frac{1}{5}$
• Отношение средних сторон: $\frac{7}{35} = \frac{1}{5}$
• Отношение наибольших сторон: $\frac{10}{50} = \frac{1}{5}$

Все отношения равны: $\frac{6}{30} = \frac{7}{35} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$.

Поскольку стороны треугольников пропорциональны, они подобны.

Ответ: да, треугольники подобны.

2)

Рассмотрим треугольники со сторонами $6$ см, $15$ см, $12$ см и $12$ см, $30$ см, $26$ см.

Упорядочим стороны первого треугольника по возрастанию: $6$ см, $12$ см, $15$ см.

Упорядочим стороны второго треугольника по возрастанию: $12$ см, $26$ см, $30$ см.

Найдем отношения длин соответствующих сторон:

• Отношение наименьших сторон: $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
• Отношение средних сторон: $\frac{12}{26} = \frac{6}{13}$
• Отношение наибольших сторон: $\frac{15}{30} = \frac{1}{2}$

Сравним полученные отношения: $\frac{1}{2}$, $\frac{6}{13}$ и $\frac{1}{2}$.

Так как $\frac{1}{2} \neq \frac{6}{13}$, отношения сторон не равны. Следовательно, стороны не пропорциональны.

Поскольку стороны треугольников не пропорциональны, они не подобны.

Ответ: нет, треугольники не подобны.

159. Подобны ли треугольники $ABD$ и $BDC$, изображённые на рисунке 112 (длины отрезков даны в сантиметрах)?

Рис. 112

159. Подобны ли треугольники $ABD$ и $BDC$, изображённые на рисунке 112 (длины отрезков даны в сантиметрах)?

Рис. 112

Для того чтобы определить, подобны ли треугольники $ABD$ и $BDC$, воспользуемся признаком подобия треугольников по трём сторонам. Согласно этому признаку, два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трём соответственным сторонам другого.

Найдём длины сторон каждого треугольника из данных на рисунке.

Для треугольника $ABD$:
$AD = 9$ см, $BD = 12$ см, $AB = 15$ см.

Для треугольника $BDC$:
$BD = 12$ см, $BC = 16$ см, $DC = 20$ см.

Теперь проверим пропорциональность их сторон. Для этого сопоставим самые короткие стороны, средние стороны и самые длинные стороны каждого треугольника и найдем их отношения.

1. Отношение наименьших сторон:
Наименьшая сторона в $\triangle ABD$ — это $AD = 9$.
Наименьшая сторона в $\triangle BDC$ — это $BD = 12$.
Их отношение: $\frac{AD}{BD} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.

2. Отношение средних по длине сторон:
Средняя сторона в $\triangle ABD$ — это $BD = 12$.
Средняя сторона в $\triangle BDC$ — это $BC = 16$.
Их отношение: $\frac{BD}{BC} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$.

3. Отношение наибольших сторон:
Наибольшая сторона в $\triangle ABD$ — это $AB = 15$.
Наибольшая сторона в $\triangle BDC$ — это $DC = 20$.
Их отношение: $\frac{AB}{DC} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$.

Так как отношения всех трёх пар соответственных сторон равны одному и тому же числу:
$\frac{AD}{BD} = \frac{BD}{BC} = \frac{AB}{DC} = \frac{3}{4}$
то треугольники $ABD$ и $BDC$ подобны по третьему признаку подобия (по трём пропорциональным сторонам). Коэффициент подобия равен $\frac{3}{4}$.

Ответ: Да, треугольники $ABD$ и $BDC$ подобны.

160. Через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ проведена окружность, пересекающая стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что треугольники $ABC$ и $MAN$ подобны. Найдите отрезки $AM$ и $MN$, если $AB = 9$ см, $BC = 12$ см, $AC = 10$ см, $AN = 3$ см.

160. Через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ проведена окружность, пересекающая стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что треугольники $ABC$ и $MAN$ подобны. Найдите отрезки $AM$ и $MN$, если $AB = 9$ см, $BC = 12$ см, $AC = 10$ см, $AN = 3$ см.

Докажите, что треугольники ABC и MAN подобны

Рассмотрим четырехугольник BCNM. По условию, его вершины B, C, N, M лежат на одной окружности, следовательно, четырехугольник BCNM является вписанным в окружность.

Одно из свойств вписанного четырехугольника гласит, что его внешний угол равен внутреннему углу при противоположной вершине. Угол $ \angle ANM $ является внешним для четырехугольника BCNM при вершине N. Внутренний угол при противоположной вершине B — это $ \angle ABC $. Таким образом, $ \angle ANM = \angle ABC $.

Теперь сравним треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ANM $:

1. Угол $ \angle BAC $ является общим для обоих треугольников.
2. $ \angle ABC = \angle ANM $, как было показано выше на основании свойства вписанного четырехугольника.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ANM $ подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Следовательно, треугольники $ABC$ и $MAN$ подобны, что и требовалось доказать.

Найдите отрезки AM и MN, если AB = 9 см, BC = 12 см, AC = 10 см, AN = 3 см

Из доказанного подобия треугольников ($ \triangle ABC \sim \triangle ANM $) следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$$ \frac{AB}{AN} = \frac{AC}{AM} = \frac{BC}{NM} $$

Подставим известные значения в это соотношение:

$$ \frac{9}{3} = \frac{10}{AM} = \frac{12}{MN} $$

Из первого отношения находим коэффициент подобия $k$:

$$ k = \frac{9}{3} = 3 $$

Теперь, используя коэффициент подобия, найдем длины искомых отрезков.

Для отрезка AM:

$$ \frac{AC}{AM} = k \implies \frac{10}{AM} = 3 \implies AM = \frac{10}{3} \text{ см} $$

Для отрезка MN:

$$ \frac{BC}{NM} = k \implies \frac{12}{MN} = 3 \implies MN = \frac{12}{3} = 4 \text{ см} $$

Ответ: $ AM = \frac{10}{3} $ см, $ MN = 4 $ см.

161. В треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ отмечена точка $K$.

Известно, что $BC = 15$ см, $\frac{AK}{AC} = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{5}$. Найдите отрезок $CK$.

161. В треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ отмечена точка $K$.

Известно, что $BC = 15$ см, $\frac{AK}{AC} = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{5}$. Найдите отрезок $CK$.

Дано:

$\triangle ABC$

$K \in AB$

$BC = 15$ см

$\frac{AK}{AC} = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{5}$

Найти:

$CK$

Решение:

Рассмотрим треугольники $\triangle AKC$ и $\triangle ACB$.

У этих треугольников угол $\angle A$ является общим. По условию задачи, стороны, прилежащие к этому общему углу, пропорциональны:

$\frac{AK}{AC} = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{5}$

Поскольку две стороны одного треугольника ($\triangle AKC$) пропорциональны двум сторонам другого треугольника ($\triangle ACB$), а углы между этими сторонами равны (так как $\angle A$ — общий), то эти треугольники подобны по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними).

$\triangle AKC \sim \triangle ACB$

Из подобия треугольников следует, что отношение всех их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k$, который равен $\frac{1}{5}$. Таким образом, отношение третьих сторон ($CK$ и $CB$) также равно коэффициенту подобия:

$\frac{CK}{CB} = \frac{1}{5}$

Подставим известное значение длины стороны $BC = 15$ см в данное равенство:

$\frac{CK}{15} = \frac{1}{5}$

Отсюда найдем длину отрезка $CK$:

$CK = 15 \cdot \frac{1}{5} = 3$ см.

Ответ: 3 см.

162. В треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$. Известно, что $AH = 4$ см, $HB = 9$ см, $CH = 6$ см. Докажите, что $\angle ACB = 90^\circ$.

162. В треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$. Известно, что $AH = 4$ см, $HB = 9$ см, $CH = 6$ см. Докажите, что $\angle ACB = 90^\circ$.

По условию, в треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$. Это означает, что отрезок $CH$ перпендикулярен стороне $AB$, и, следовательно, треугольники $AHC$ и $BHC$ являются прямоугольными.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы ($AC$) равен сумме квадратов катетов ($AH$ и $CH$):
$AC^2 = AH^2 + CH^2$
$AC^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Аналогично, по теореме Пифагора, квадрат гипотенузы ($BC$) равен сумме квадратов катетов ($HB$ и $CH$):
$BC^2 = HB^2 + CH^2$
$BC^2 = 9^2 + 6^2 = 81 + 36 = 117$.

3. Найдем длину стороны $AB$. Поскольку точка $H$ является основанием высоты, проведенной к стороне $AB$, она лежит на этой стороне (или ее продолжении). Углы $A$ и $B$ должны быть острыми, чтобы высота из $C$ падала между $A$ и $B$. Предполагая это, длина стороны $AB$ равна сумме длин отрезков $AH$ и $HB$:
$AB = AH + HB = 4 + 9 = 13$ см.

4. Теперь проверим для треугольника $ABC$ выполнение условия теоремы, обратной теореме Пифагора. Эта теорема гласит: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным.

Вычислим квадрат стороны $AB$ и сравним его с суммой квадратов сторон $AC$ и $BC$:
$AB^2 = 13^2 = 169$
$AC^2 + BC^2 = 52 + 117 = 169$

Поскольку $AB^2 = AC^2 + BC^2$ ($169 = 169$), то треугольник $ABC$ является прямоугольным. Прямой угол в таком треугольнике лежит напротив наибольшей стороны (гипотенузы), которой в данном случае является сторона $AB$. Следовательно, $\angle ACB = 90^\circ$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

163. Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведённую из вершины прямого угла, если она делит гипотенузу на отрезки длиной 9 см и 25 см.

163. Найдите высоту прямоугольного треугольника, прове- дённую из вершины прямого угла, если она делит гипо- тенузу на отрезки длиной 9 см и 25 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник, в котором из вершины прямого угла проведена высота к гипотенузе. Обозначим эту высоту как $h$.

По условию, эта высота делит гипотенузу на два отрезка. Обозначим их длины как $c_1$ и $c_2$. Из условия задачи имеем:

$c_1 = 9$ см

$c_2 = 25$ см

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, является средним геометрическим (средним пропорциональным) отрезков, на которые она делит гипотенузу. Это свойство выражается следующей формулой:

$h = \sqrt{c_1 \cdot c_2}$

Что эквивалентно формуле:

$h^2 = c_1 \cdot c_2$

Подставим в формулу известные значения длин отрезков:

$h^2 = 9 \cdot 25$

$h^2 = 225$

Теперь найдем длину высоты $h$, извлекая квадратный корень из полученного значения:

$h = \sqrt{225}$

$h = 15$ см

Ответ: 15 см.