Номер 160, страница 88 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

160. Через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ проведена окружность, пересекающая стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что треугольники $ABC$ и $MAN$ подобны. Найдите отрезки $AM$ и $MN$, если $AB = 9$ см, $BC = 12$ см, $AC = 10$ см, $AN = 3$ см.

160. Через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ проведена окружность, пересекающая стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что треугольники $ABC$ и $MAN$ подобны. Найдите отрезки $AM$ и $MN$, если $AB = 9$ см, $BC = 12$ см, $AC = 10$ см, $AN = 3$ см.

Докажите, что треугольники ABC и MAN подобны

Рассмотрим четырехугольник BCNM. По условию, его вершины B, C, N, M лежат на одной окружности, следовательно, четырехугольник BCNM является вписанным в окружность.

Одно из свойств вписанного четырехугольника гласит, что его внешний угол равен внутреннему углу при противоположной вершине. Угол $ \angle ANM $ является внешним для четырехугольника BCNM при вершине N. Внутренний угол при противоположной вершине B — это $ \angle ABC $. Таким образом, $ \angle ANM = \angle ABC $.

Теперь сравним треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ANM $:

1. Угол $ \angle BAC $ является общим для обоих треугольников.
2. $ \angle ABC = \angle ANM $, как было показано выше на основании свойства вписанного четырехугольника.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ANM $ подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Следовательно, треугольники $ABC$ и $MAN$ подобны, что и требовалось доказать.

Найдите отрезки AM и MN, если AB = 9 см, BC = 12 см, AC = 10 см, AN = 3 см

Из доказанного подобия треугольников ($ \triangle ABC \sim \triangle ANM $) следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$$ \frac{AB}{AN} = \frac{AC}{AM} = \frac{BC}{NM} $$

Подставим известные значения в это соотношение:

$$ \frac{9}{3} = \frac{10}{AM} = \frac{12}{MN} $$

Из первого отношения находим коэффициент подобия $k$:

$$ k = \frac{9}{3} = 3 $$

Теперь, используя коэффициент подобия, найдем длины искомых отрезков.

Для отрезка AM:

$$ \frac{AC}{AM} = k \implies \frac{10}{AM} = 3 \implies AM = \frac{10}{3} \text{ см} $$

Для отрезка MN:

$$ \frac{BC}{NM} = k \implies \frac{12}{MN} = 3 \implies MN = \frac{12}{3} = 4 \text{ см} $$

Ответ: $ AM = \frac{10}{3} $ см, $ MN = 4 $ см.