Номер 166, страница 89 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

166. Найдите высоту и боковую сторону равнобокой трапеции, основания которой равны 12 см и 20 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

166. Найдите высоту и боковую сторону равнобокой трапеции, основания которой равны 12 см и 20 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию $AD=20$ см, $BC=12$ см. Так как трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны: $AB=CD$. Диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, следовательно, $\triangle ACD$ — прямоугольный с гипотенузой $AD$.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Длина отрезка $HD$, который является проекцией боковой стороны $CD$ на большее основание, для равнобокой трапеции вычисляется как полуразность оснований:

$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Для нахождения высоты $CH$ воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике $\triangle ACD$. Высота, проведенная к гипотенузе, связана с отрезками, на которые она делит гипотенузу, формулой $CH^2 = AH \cdot HD$.

Сначала найдем длину отрезка $AH$:

$AH = AD - HD = 20 - 4 = 16$ см.

Теперь вычислим высоту $h=CH$:

$h^2 = AH \cdot HD = 16 \cdot 4 = 64$

$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: высота трапеции равна 8 см.

Боковую сторону $CD$ можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle CHD$ по теореме Пифагора:

$CD^2 = CH^2 + HD^2$

$CD^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80$

$CD = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

Также боковую сторону можно было найти, используя метрические соотношения в $\triangle ACD$: квадрат катета $CD$ равен произведению гипотенузы $AD$ на проекцию этого катета на гипотенузу $HD$.

$CD^2 = AD \cdot HD = 20 \cdot 4 = 80$

$CD = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ см.

Ответ: боковая сторона трапеции равна $4\sqrt{5}$ см.