Номер 162, страница 88 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

162. В треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$. Известно, что $AH = 4$ см, $HB = 9$ см, $CH = 6$ см. Докажите, что $\angle ACB = 90^\circ$.

162. В треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$. Известно, что $AH = 4$ см, $HB = 9$ см, $CH = 6$ см. Докажите, что $\angle ACB = 90^\circ$.

По условию, в треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$. Это означает, что отрезок $CH$ перпендикулярен стороне $AB$, и, следовательно, треугольники $AHC$ и $BHC$ являются прямоугольными.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы ($AC$) равен сумме квадратов катетов ($AH$ и $CH$):
$AC^2 = AH^2 + CH^2$
$AC^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Аналогично, по теореме Пифагора, квадрат гипотенузы ($BC$) равен сумме квадратов катетов ($HB$ и $CH$):
$BC^2 = HB^2 + CH^2$
$BC^2 = 9^2 + 6^2 = 81 + 36 = 117$.

3. Найдем длину стороны $AB$. Поскольку точка $H$ является основанием высоты, проведенной к стороне $AB$, она лежит на этой стороне (или ее продолжении). Углы $A$ и $B$ должны быть острыми, чтобы высота из $C$ падала между $A$ и $B$. Предполагая это, длина стороны $AB$ равна сумме длин отрезков $AH$ и $HB$:
$AB = AH + HB = 4 + 9 = 13$ см.

4. Теперь проверим для треугольника $ABC$ выполнение условия теоремы, обратной теореме Пифагора. Эта теорема гласит: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным.

Вычислим квадрат стороны $AB$ и сравним его с суммой квадратов сторон $AC$ и $BC$:
$AB^2 = 13^2 = 169$
$AC^2 + BC^2 = 52 + 117 = 169$

Поскольку $AB^2 = AC^2 + BC^2$ ($169 = 169$), то треугольник $ABC$ является прямоугольным. Прямой угол в таком треугольнике лежит напротив наибольшей стороны (гипотенузы), которой в данном случае является сторона $AB$. Следовательно, $\angle ACB = 90^\circ$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.