Номер 169, страница 89 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

169. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 50 см. Найдите радиус вписанной окружности и основания трапеции.

169. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 50 см. Найдите радиус вписанной окружности и основания трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, в которую вписана окружность. $AD$ и $BC$ — основания, $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Пусть точка касания $K$ на стороне $CD$ делит её на отрезки $CK = 8$ см и $KD = 50$ см.

Нахождение длины боковой стороны

Длина боковой стороны $CD$ равна сумме длин отрезков, на которые её делит точка касания:

$CD = CK + KD = 8 + 50 = 58$ см.

Поскольку трапеция равнобокая, её боковые стороны равны: $AB = CD = 58$ см.

Нахождение оснований трапеции

Используем свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной вершины: они равны. Пусть окружность касается оснований $BC$ и $AD$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

Тогда для вершины $C$ имеем $CM = CK = 8$ см.

Для вершины $D$ имеем $DN = DK = 50$ см.

В равнобокой трапеции, в которую вписана окружность, точки касания на основаниях являются их серединами. Следовательно, длина оснований равна:

Меньшее основание: $BC = 2 \cdot CM = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Большее основание: $AD = 2 \cdot DN = 2 \cdot 50 = 100$ см.

Нахождение радиуса вписанной окружности

Высота трапеции, в которую можно вписать окружность, равна диаметру этой окружности, то есть $h = 2r$.

Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Образуется прямоугольный треугольник $CHD$.

Катет $HD$ в равнобокой трапеции можно найти по формуле полуразности оснований:

$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{100 - 16}{2} = \frac{84}{2} = 42$ см.

По теореме Пифагора для треугольника $CHD$ ($CH^2 + HD^2 = CD^2$):

$h^2 = CD^2 - HD^2$

$h^2 = 58^2 - 42^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$h^2 = (58 - 42)(58 + 42) = 16 \cdot 100 = 1600$

$h = \sqrt{1600} = 40$ см.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты:

$r = \frac{h}{2} = \frac{40}{2} = 20$ см.

Ответ: радиус вписанной окружности равен 20 см, основания трапеции равны 16 см и 100 см.