Номер 167, страница 89 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

167. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к стороне, делит её на отрезки длиной 8 см и 18 см. Найдите диагонали ромба.

167. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к стороне, делит её на отрезки длиной 8 см и 18 см. Найдите диагонали ромба.

Пусть дан ромб ABCD, диагонали которого AC и BD пересекаются в точке O. Из точки O к стороне AD проведен перпендикуляр OH, который делит сторону на отрезки AH и HD.

По условию, длины этих отрезков равны 8 см и 18 см. Сторона ромба $a$ равна сумме длин этих отрезков:

$a = AD = AH + HD = 8 + 18 = 26$ см.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, треугольник $\triangle AOD$ является прямоугольным, где $\angle AOD = 90^\circ$. Катеты этого треугольника — это половины диагоналей $AO = d_1/2$ и $DO = d_2/2$, а гипотенуза — сторона ромба $AD = a = 26$ см.

Отрезок OH является высотой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе в треугольнике $\triangle AOD$.

В прямоугольном треугольнике действуют метрические соотношения. В частности, квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Отрезки AH и HD являются проекциями катетов AO и DO на гипотенузу AD соответственно.

Найдем квадраты длин половин диагоналей:

$AO^2 = AD \cdot AH = 26 \cdot 8 = 208$

$DO^2 = AD \cdot HD = 26 \cdot 18 = 468$

Теперь найдем длины половин диагоналей:

$AO = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13}$ см.

$DO = \sqrt{468} = \sqrt{36 \cdot 13} = 6\sqrt{13}$ см.

Чтобы найти длины полных диагоналей ($d_1$ и $d_2$), нужно удвоить длины их половин:

$d_1 = AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 4\sqrt{13} = 8\sqrt{13}$ см.

$d_2 = BD = 2 \cdot DO = 2 \cdot 6\sqrt{13} = 12\sqrt{13}$ см.

Ответ: $8\sqrt{13}$ см и $12\sqrt{13}$ см.