Номер 168, страница 89 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

168. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит большую боковую сторону на отрезки длиной 5 см и 20 см. Найдите периметр трапеции.

168. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит большую боковую сторону на отрезки длиной 5 см и 20 см. Найдите периметр трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которую вписана окружность. Пусть $\angle A = \angle B = 90^\circ$. Тогда $AB$ — меньшая боковая сторона, являющаяся также высотой трапеции, а $CD$ — большая боковая сторона. $BC$ и $AD$ — основания.

По условию, точка касания делит большую боковую сторону $CD$ на отрезки длиной 5 см и 20 см. Пусть $K$ — точка касания на стороне $CD$. Тогда $CK = 5$ см и $KD = 20$ см. Длина стороны $CD$ равна сумме длин этих отрезков:$CD = CK + KD = 5 + 20 = 25$ см.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных от вершины до точек касания равны.Пусть окружность касается сторон $BC$ и $AD$ в точках $N$ и $L$ соответственно. Тогда:$CN = CK = 5$ см.$DL = DK = 20$ см.

Высота прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности. Обозначим радиус вписанной окружности как $r$. Тогда высота $h = AB = 2r$.Основание $BC$ состоит из отрезков $BN$ и $NC$. Основание $AD$ состоит из отрезков $AL$ и $LD$.Поскольку трапеция прямоугольная с прямыми углами при вершинах $A$ и $B$, отрезки касательных от этих вершин до точек касания на перпендикулярной боковой стороне и на основаниях равны радиусу окружности. То есть, $AL = r$ и $BN = r$.Тогда длины оснований равны:$BC = BN + NC = r + 5$ см.$AD = AL + LD = r + 20$ см.

Для нахождения радиуса $r$ проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Получим прямоугольный треугольник $CHD$.В этом треугольнике:1. Гипотенуза $CD = 25$ см.2. Катет $CH$ равен высоте трапеции $AB$, то есть $CH = 2r$.3. Катет $HD$ равен разности оснований: $HD = AD - AH$. Так как $ABCH$ — прямоугольник, $AH = BC$. Следовательно, $HD = AD - BC = (r + 20) - (r + 5) = 15$ см.

Применим теорему Пифагора для треугольника $CHD$: $CH^2 + HD^2 = CD^2$.$(2r)^2 + 15^2 = 25^2$$4r^2 + 225 = 625$$4r^2 = 625 - 225$$4r^2 = 400$$r^2 = 100$$r = 10$ см.

Теперь мы можем найти длины всех сторон трапеции:- Меньшая боковая сторона (высота): $AB = 2r = 2 \cdot 10 = 20$ см.- Большая боковая сторона: $CD = 25$ см.- Меньшее основание: $BC = r + 5 = 10 + 5 = 15$ см.- Большее основание: $AD = r + 20 = 10 + 20 = 30$ см.

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон:$P = AB + BC + CD + AD = 20 + 15 + 25 + 30 = 90$ см.

Также можно использовать свойство описанного четырехугольника, согласно которому суммы длин противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$.$20 + 25 = 15 + 30$$45 = 45$Периметр можно найти как $P = 2 \cdot (AB + CD) = 2 \cdot (20 + 25) = 2 \cdot 45 = 90$ см.

Ответ: 90 см.