Номер 159, страница 88 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

159. Подобны ли треугольники $ABD$ и $BDC$, изображённые на рисунке 112 (длины отрезков даны в сантиметрах)?

Рис. 112

159. Подобны ли треугольники $ABD$ и $BDC$, изображённые на рисунке 112 (длины отрезков даны в сантиметрах)?

Рис. 112

Для того чтобы определить, подобны ли треугольники $ABD$ и $BDC$, воспользуемся признаком подобия треугольников по трём сторонам. Согласно этому признаку, два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трём соответственным сторонам другого.

Найдём длины сторон каждого треугольника из данных на рисунке.

Для треугольника $ABD$:
$AD = 9$ см, $BD = 12$ см, $AB = 15$ см.

Для треугольника $BDC$:
$BD = 12$ см, $BC = 16$ см, $DC = 20$ см.

Теперь проверим пропорциональность их сторон. Для этого сопоставим самые короткие стороны, средние стороны и самые длинные стороны каждого треугольника и найдем их отношения.

1. Отношение наименьших сторон:
Наименьшая сторона в $\triangle ABD$ — это $AD = 9$.
Наименьшая сторона в $\triangle BDC$ — это $BD = 12$.
Их отношение: $\frac{AD}{BD} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.

2. Отношение средних по длине сторон:
Средняя сторона в $\triangle ABD$ — это $BD = 12$.
Средняя сторона в $\triangle BDC$ — это $BC = 16$.
Их отношение: $\frac{BD}{BC} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$.

3. Отношение наибольших сторон:
Наибольшая сторона в $\triangle ABD$ — это $AB = 15$.
Наибольшая сторона в $\triangle BDC$ — это $DC = 20$.
Их отношение: $\frac{AB}{DC} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$.

Так как отношения всех трёх пар соответственных сторон равны одному и тому же числу:
$\frac{AD}{BD} = \frac{BD}{BC} = \frac{AB}{DC} = \frac{3}{4}$
то треугольники $ABD$ и $BDC$ подобны по третьему признаку подобия (по трём пропорциональным сторонам). Коэффициент подобия равен $\frac{3}{4}$.

Ответ: Да, треугольники $ABD$ и $BDC$ подобны.