Номер 153, страница 87 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

153. Через точку $F$ проведены к окружности касательная $FA$ ($A$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $B$ и $C$ (точка $B$ лежит между точками $F$ и $C$). Найдите отрезок $FB$, если $AF = 24$ см и $FB : BC = 9 : 7$.

153. Через точку $F$ проведены к окружности касательная $FA$ ($A$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $B$ и $C$ (точка $B$ лежит между точками $F$ и $C$). Найдите отрезок $FB$, если $AF = 24$ см и $FB : BC = 9 : 7$.

Для решения данной задачи используется теорема о касательной и секущей, которые проведены к окружности из одной точки. Эта теорема гласит, что квадрат длины отрезка касательной от внешней точки до точки касания равен произведению длины всей секущей на её внешнюю часть.

В нашем случае формула будет выглядеть так:

$AF^2 = FC \cdot FB$

По условию задачи нам даны следующие значения:

Длина касательной $AF = 24$ см.

Соотношение отрезков секущей $FB : BC = 9 : 7$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда мы можем выразить длины отрезков $FB$ и $BC$ через $x$:

$FB = 9x$

$BC = 7x$

Длина всей секущей $FC$ равна сумме длин её частей $FB$ и $BC$:

$FC = FB + BC = 9x + 7x = 16x$

Теперь подставим полученные выражения в основную формулу теоремы:

$AF^2 = FC \cdot FB$

$24^2 = (16x) \cdot (9x)$

Выполним вычисления и решим получившееся уравнение:

$576 = 144x^2$

Найдем $x^2$:

$x^2 = \frac{576}{144}$

$x^2 = 4$

Поскольку длина отрезка может быть только положительным числом, извлекаем квадратный корень:

$x = \sqrt{4} = 2$

Зная значение коэффициента $x$, мы можем найти длину искомого отрезка $FB$:

$FB = 9x = 9 \cdot 2 = 18$ см.

Ответ: 18 см.