Номер 150, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

150. Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $E$, $AE = 4$ см, $BE = 9$ см, а отрезок $CE$ в 4 раза меньше отрезка $DE$. Найдите отрезки $CE$ и $DE$.

150. Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $E$, $AE = 4$ см, $BE = 9$ см, а отрезок $CE$ в 4 раза меньше отрезка $DE$. Найдите отрезки $CE$ и $DE$.

Для решения этой задачи используется свойство пересекающихся хорд в окружности. Согласно этому свойству, произведение отрезков, на которые точка пересечения делит одну хорду, равно произведению отрезков, на которые она делит другую хорду.

Пусть хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$. Тогда справедливо равенство:

$AE \cdot BE = CE \cdot DE$

По условию задачи нам даны следующие значения:

• $AE = 4$ см
• $BE = 9$ см
• Отрезок $CE$ в 4 раза меньше отрезка $DE$. Обозначим длину отрезка $CE$ как $x$. Тогда длина отрезка $DE$ будет равна $4x$.

Теперь подставим все известные значения и переменные в формулу:

$4 \cdot 9 = x \cdot 4x$

$36 = 4x^2$

Чтобы найти $x^2$, разделим обе части уравнения на 4:

$x^2 = \frac{36}{4}$

$x^2 = 9$

Теперь найдем $x$, извлекая квадратный корень из 9. Поскольку длина отрезка может быть только положительным числом, выбираем положительный корень:

$x = \sqrt{9} = 3$

Таким образом, мы нашли длину отрезка $CE$:

$CE = x = 3$ см.

Теперь найдем длину отрезка $DE$, которая в 4 раза больше длины $CE$:

$DE = 4x = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Проверим правильность решения: $AE \cdot BE = 4 \cdot 9 = 36$. $CE \cdot DE = 3 \cdot 12 = 36$. Равенство $36 = 36$ выполняется, следовательно, задача решена верно.

Ответ: $CE = 3$ см, $DE = 12$ см.