Номер 147, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

147. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) $M$ — точка пересечения диагоналей, $BM : MD = 1 : 3$. Найдите меньшее основание трапеции, если её средняя линия равна 8 см.

147. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) $M$ — точка пересечения диагоналей, $BM : MD = 1 : 3$. Найдите меньшее основание трапеции, если её средняя линия равна 8 см.

Дано: трапеция $ABCD$, основания $BC \parallel AD$, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Отношение отрезков диагонали $BM : MD = 1 : 3$. Средняя линия трапеции равна 8 см.

Рассмотрим треугольники $\triangle BMC$ и $\triangle DMA$, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей.

1. Угол $\angle BMC$ равен углу $\angle DMA$ (как вертикальные углы).
2. Угол $\angle CBM$ равен углу $\angle ADM$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$).

Следовательно, треугольник $\triangle BMC$ подобен треугольнику $\triangle DMA$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно. В данном случае, отношение оснований трапеции равно отношению соответственных отрезков диагоналей: $$ \frac{BC}{AD} = \frac{BM}{MD} $$ По условию задачи $BM : MD = 1 : 3$, значит: $$ \frac{BC}{AD} = \frac{1}{3} $$ Из этого соотношения выразим одно основание через другое: $AD = 3 \cdot BC$. Поскольку $BC$ и $AD$ — длины, они положительны, и из равенства следует, что $AD > BC$. Значит, $BC$ — меньшее основание трапеции.

Средняя линия трапеции $(L)$ равна полусумме ее оснований: $$ L = \frac{BC + AD}{2} $$ По условию $L = 8$ см. Подставим в формулу известные данные и выражение для $AD$: $$ 8 = \frac{BC + 3 \cdot BC}{2} $$ Решим полученное уравнение: $$ 8 = \frac{4 \cdot BC}{2} $$ $$ 8 = 2 \cdot BC $$ $$ BC = \frac{8}{2} $$ $$ BC = 4 \text{ см} $$

Меньшее основание трапеции равно 4 см.

Ответ: 4 см.