Номер 141, страница 85 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

141. На рисунке 106 $\angle ABC = \angle ADC$. Подобны ли треугольники ABK и CDK? В случае положительного ответа укажите пары соответственных сторон.

Рис. 106

141. На рисунке 106 $\angle ABC = \angle ADC$. Подобны ли треугольники $ABK$ и $CDK$? В случае положительного ответа укажите пары соответственных сторон.

Рис. 106

Рассмотрим треугольники $ABK$ и $CDK$.

Для доказательства подобия треугольников воспользуемся первым признаком подобия (по двум углам), который гласит: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

1. По условию задачи нам дано, что $∠ABC = ∠ADC$. Так как точка $K$ лежит на отрезке $BC$, а точка $A$ — на продолжении луча $AK$, то угол $∠ABC$ — это тот же угол, что и $∠ABK$. Аналогично, угол $∠ADC$ — это тот же угол, что и $∠CDK$. Таким образом, первое равенство углов: $∠ABK = ∠CDK$.

2. Углы $∠AKB$ и $∠CKD$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением двух прямых $AD$ и $BC$. По свойству вертикальных углов, они равны. Таким образом, второе равенство углов: $∠AKB = ∠CKD$.

Поскольку два угла треугольника $ABK$ ( $∠ABK$ и $∠AKB$ ) соответственно равны двум углам треугольника $CDK$ ( $∠CDK$ и $∠CKD$ ), то эти треугольники подобны по первому признаку подобия.

Подобны ли треугольники ABK и CDK?

Да, треугольники $ABK$ и $CDK$ подобны ($ΔABK \sim ΔCDK$).

Пары соответственных сторон:

Соответственные стороны в подобных треугольниках лежат против равных углов.

• Сторона $AK$ (лежит против угла $∠ABK$) соответствует стороне $CK$ (лежит против равного ему угла $∠CDK$).
• Сторона $BK$ (лежит против угла $∠BAK$) соответствует стороне $DK$ (лежит против равного ему угла $∠DCK$).
• Сторона $AB$ (лежит против угла $∠AKB$) соответствует стороне $CD$ (лежит против равного ему угла $∠CKD$).

Ответ: Да, треугольники $ABK$ и $CDK$ подобны. Пары соответственных сторон: $AB$ и $CD$; $AK$ и $CK$; $BK$ и $DK$.