Номер 139, страница 85 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

139. В треугольник $ABC$ вписан ромб $BDEF$ так, что угол $B$ у них общий, а вершина $E$ принадлежит стороне $AC$. Найдите сторону ромба, если $AB = 12$ см, $BC = 6$ см.

139. В треугольник $ABC$ вписан ромб $BDEF$ так, что угол $B$ у них общий, а вершина $E$ принадлежит стороне $AC$. Найдите сторону ромба, если $AB = 12$ см, $BC = 6$ см.

Пусть сторона ромба BDEF равна $x$. По определению ромба, все его стороны равны, следовательно, $BD = DE = EF = FB = x$.

Вершины ромба лежат на сторонах треугольника $ABC$: точка $D$ на стороне $AB$, точка $F$ на стороне $BC$ и точка $E$ на стороне $AC$. Так как $BDEF$ — ромб, его противоположные стороны параллельны. В частности, сторона $EF$ параллельна стороне $BD$. Поскольку точка $D$ лежит на стороне $AB$, то прямая, содержащая отрезок $BD$, совпадает с прямой $AB$. Следовательно, $EF \parallel AB$.

Рассмотрим треугольники $EFC$ и $ABC$. Поскольку $EF \parallel AB$, эти треугольники подобны по двум углам: 1. Угол $C$ у них общий.
2. Угол $CEF$ равен углу $CAB$ как соответственные углы при параллельных прямых $EF$ и $AB$ и секущей $AC$.
Таким образом, $ \triangle EFC \sim \triangle ABC $.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $ \frac{EF}{AB} = \frac{FC}{BC} $

Выразим длины отрезков в этой пропорции. По условию задачи $AB = 12$ см и $BC = 6$ см. Сторона ромба $EF = x$. Отрезок $FC$ можно выразить как разность длин отрезков $BC$ и $FB$. Так как $FB$ является стороной ромба, $FB = x$. Следовательно, $FC = BC - FB = 6 - x$.

Подставим все известные и выраженные значения в уравнение пропорции: $ \frac{x}{12} = \frac{6 - x}{6} $

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем: $ 6 \cdot x = 12 \cdot (6 - x) $ $ 6x = 72 - 12x $

Перенесем слагаемое с $x$ из правой части в левую: $ 6x + 12x = 72 $ $ 18x = 72 $

Найдем $x$: $ x = \frac{72}{18} $ $ x = 4 $

Таким образом, длина стороны ромба составляет 4 см.

Ответ: 4 см.