Номер 133, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

133. Известно, что $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$, причём стороне $AB$ соответствует сторона $A_1B_1$, а стороне $BC$ — сторона $B_1C_1$ (рис. 103). Найдите неизвестные стороны этих треугольников (размеры сторон даны в сантиметрах).

Рис. 103

a

Треугольник ABC: $AB=4$, $BC=5$, $AC=2$.

Треугольник $A_1B_1C_1$: $A_1C_1=5$.

b

Треугольник ABC: $BC=11$, $AC=12$.

Треугольник $A_1B_1C_1$: $A_1B_1=6$, $A_1C_1=8$.

133. Известно, что $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$, причём стороне $AB$ соответствует сторона $A_1B_1$, а стороне $BC$ — сторона $B_1C_1$ (рис. 103). Найдите неизвестные стороны этих треугольников (размеры сторон даны в сантиметрах).

Рис. 103

Для треугольника $ABC$: $AB=4$, $BC=5$, $AC=2$. Для треугольника $A_1B_1C_1$: $A_1C_1=5$.

Для треугольника $ABC$: $AC=12$, $BC=11$. Для треугольника $A_1B_1C_1$: $A_1B_1=6$, $A_1C_1=8$.

а

Поскольку треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны ($ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $), отношения их соответствующих сторон равны. По условию, стороне $AB$ соответствует сторона $A_1B_1$, а стороне $BC$ — сторона $B_1C_1$. Следовательно, третьей парой соответствующих сторон являются $AC$ и $A_1C_1$.

Можно записать пропорцию для соответствующих сторон: $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} $

Из рисунка известны следующие длины сторон: Для $ \triangle ABC $: $ AB = 4 $ см, $ BC = 5 $ см, $ AC = 2 $ см. Для $ \triangle A_1B_1C_1 $: $ A_1C_1 = 5 $ см. Необходимо найти стороны $ A_1B_1 $ и $ B_1C_1 $.

Подставим известные значения в нашу пропорцию: $ \frac{4}{A_1B_1} = \frac{5}{B_1C_1} = \frac{2}{5} $

Из отношения $ \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{2}{5} $ мы можем найти неизвестные стороны.

Найдем $ A_1B_1 $: $ \frac{4}{A_1B_1} = \frac{2}{5} $ $ A_1B_1 = \frac{4 \cdot 5}{2} = \frac{20}{2} = 10 $ см.

Найдем $ B_1C_1 $: $ \frac{5}{B_1C_1} = \frac{2}{5} $ $ B_1C_1 = \frac{5 \cdot 5}{2} = \frac{25}{2} = 12.5 $ см.

Ответ: $ A_1B_1 = 10 $ см, $ B_1C_1 = 12.5 $ см.

б

Используем то же свойство подобия треугольников и ту же пропорцию: $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} $

Из рисунка известны следующие длины сторон: Для $ \triangle ABC $: $ BC = 11 $ см, $ AC = 12 $ см. Для $ \triangle A_1B_1C_1 $: $ A_1B_1 = 6 $ см, $ A_1C_1 = 8 $ см. Необходимо найти стороны $ AB $ и $ B_1C_1 $.

Подставим известные значения в пропорцию: $ \frac{AB}{6} = \frac{11}{B_1C_1} = \frac{12}{8} $

Мы можем упростить отношение известных сторон $ \frac{12}{8} = \frac{3}{2} $. Теперь пропорция выглядит так: $ \frac{AB}{6} = \frac{11}{B_1C_1} = \frac{3}{2} $

Найдем неизвестную сторону $ AB $: $ \frac{AB}{6} = \frac{3}{2} $ $ AB = \frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9 $ см.

Найдем неизвестную сторону $ B_1C_1 $: $ \frac{11}{B_1C_1} = \frac{3}{2} $ $ B_1C_1 = \frac{11 \cdot 2}{3} = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3} $ см.

Ответ: $ AB = 9 $ см, $ B_1C_1 = 7\frac{1}{3} $ см.