Номер 130, страница 83 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

130. В треугольнике $ABC$ $AB = 8$ см, $BC = 11$ см, $AC = 5$ см. В каком отношении центр окружности, вписанной в треугольник, делит его биссектрису $CK$?

130. В треугольнике $ABC$ $AB = 8 \text{ см}$, $BC = 11 \text{ см}$, $AC = 5 \text{ см}$. В каком отношении центр окружности, вписанной в треугольник, делит его биссектрису $CK$?

Пусть $I$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности (инцентр). По определению, инцентр является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, точка $I$ лежит на биссектрисе $CK$. Задача состоит в том, чтобы найти отношение $CI : IK$.

Рассмотрим треугольник $ACK$. Поскольку $I$ — это инцентр треугольника $ABC$, луч $AI$ является биссектрисой угла $A$. Таким образом, в треугольнике $ACK$ отрезок $AI$ является биссектрисой угла $CAK$.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Применим это свойство к треугольнику $ACK$ и его биссектрисе $AI$: $$ \frac{CI}{IK} = \frac{AC}{AK} $$

Чтобы найти это отношение, нам необходимо вычислить длину отрезка $AK$. Для этого воспользуемся свойством биссектрисы $CK$ в исходном треугольнике $ABC$. Биссектриса $CK$ делит сторону $AB$ на отрезки $AK$ и $KB$ пропорционально прилежащим сторонам $AC$ и $BC$: $$ \frac{AK}{KB} = \frac{AC}{BC} $$

Из условия задачи нам даны длины сторон: $AC = 5$ см, $BC = 11$ см и $AB = 8$ см. Подставим эти значения в пропорцию: $$ \frac{AK}{KB} = \frac{5}{11} $$ Мы также знаем, что $AK + KB = AB = 8$ см. Из этого равенства выразим $KB$: $KB = 8 - AK$.

Подставим выражение для $KB$ в пропорцию: $$ \frac{AK}{8 - AK} = \frac{5}{11} $$ Решим полученное уравнение относительно $AK$, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $$ 11 \cdot AK = 5 \cdot (8 - AK) $$ $$ 11 \cdot AK = 40 - 5 \cdot AK $$ $$ 11 \cdot AK + 5 \cdot AK = 40 $$ $$ 16 \cdot AK = 40 $$ $$ AK = \frac{40}{16} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ см} $$

Теперь, когда мы нашли длину $AK$, мы можем вычислить искомое отношение $CI:IK$: $$ \frac{CI}{IK} = \frac{AC}{AK} = \frac{5}{2.5} = 2 $$ Это означает, что отрезок $CI$ в два раза длиннее отрезка $IK$, и их отношение равно $2:1$.

Ответ: $2:1$, считая от вершины $C$.