Номер 129, страница 83 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

129. Стороны треугольника равны 12 см, 14 см и 16 см. Окружность, центр которой принадлежит средней по длине стороне треугольника, касается двух других сторон. Найдите отрезки, на которые центр окружности делит сторону треугольника.

129. Стороны треугольника равны 12 см, 14 см и 16 см. Окружность, центр которой принадлежит средней по длине стороне треугольника, касается двух других сторон. Найдите отрезки, на которые центр окружности делит сторону треугольника.

Пусть дан треугольник со сторонами, равными 12 см, 14 см и 16 см. Обозначим вершины треугольника как A, B, C, так, чтобы стороны были $BC = 12$ см, $AC = 14$ см и $AB = 16$ см.

Средней по длине стороной является сторона $AC = 14$ см. По условию, центр окружности (назовем его точкой O) принадлежит стороне AC.

Окружность касается двух других сторон, AB и BC. Центр окружности, касающейся двух сторон угла, всегда лежит на биссектрисе этого угла. Так как окружность с центром в точке O касается сторон AB и BC, то точка O лежит на биссектрисе угла ∠ABC.

Следовательно, отрезок BO является биссектрисой угла B в треугольнике ABC, а точка O — это точка пересечения биссектрисы со стороной AC.

Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае: $ \frac{AO}{OC} = \frac{AB}{BC} $

Подставим в эту формулу длины известных сторон: $ \frac{AO}{OC} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} $

Точка O делит сторону AC на два отрезка, AO и OC. Сумма их длин равна длине всей стороны AC: $ AO + OC = 14 $ см.

Пусть длина отрезка $AO = x$ см. Тогда длина отрезка $OC = 14 - x$ см. Подставим эти выражения в нашу пропорцию: $ \frac{x}{14 - x} = \frac{4}{3} $

Решим полученное уравнение: $ 3 \cdot x = 4 \cdot (14 - x) $ $ 3x = 56 - 4x $ $ 3x + 4x = 56 $ $ 7x = 56 $ $ x = \frac{56}{7} $ $ x = 8 $

Таким образом, длина отрезка $AO = 8$ см. Длина второго отрезка $OC = 14 - 8 = 6$ см.

Центр окружности делит среднюю сторону треугольника на отрезки длиной 8 см и 6 см.

Ответ: 8 см и 6 см.