Номер 124, страница 83 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

124. Сторону $BC$ треугольника $ABC$ разделили на 3 равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные стороне $AC$. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие треугольнику $ABC$, если наибольший из этих отрезков на 5 см меньше стороны $AC$.

124. Сторону $BC$ треугольника $ABC$ разделили на 3 равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные стороне $AC$. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие треугольнику $ABC$, если наибольший из этих отрезков на 5 см меньше стороны $AC$.

Пусть в треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ отмечены точки $D$ и $E$ таким образом, что $B$, $D$, $E$, $C$ лежат на одной прямой в указанном порядке, и $BD = DE = EC$. Через точки $D$ и $E$ проведены прямые, параллельные стороне $AC$, которые пересекают сторону $AB$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Требуется найти длины отрезков $MD$ и $NE$.

Решение:

1. Рассмотрим $\triangle BNE$ и $\triangle BAC$.

• $\angle B$ — общий.
• $\angle BNE = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $NE$ и $AC$ и секущей $AB$.

Следовательно, $\triangle BNE \sim \triangle BAC$ по двум углам.

2. Аналогично рассмотрим $\triangle BMD$ и $\triangle BAC$.

• $\angle B$ — общий.
• $\angle BMD = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MD$ и $AC$ и секущей $AB$.

Следовательно, $\triangle BMD \sim \triangle BAC$ по двум углам.

3. Из подобия треугольников следуют соотношения для их сторон:

$\frac{MD}{AC} = \frac{BD}{BC}$

$\frac{NE}{AC} = \frac{BE}{BC}$

4. По условию задачи, сторона $BC$ разделена на 3 равных отрезка. Обозначим длину одного такого отрезка за $x$, то есть $BD = DE = EC = x$. Тогда:

• $BD = x$
• $BE = BD + DE = x + x = 2x$
• $BC = BD + DE + EC = x + x + x = 3x$

5. Подставим эти значения в пропорции:

$\frac{MD}{AC} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3} \implies MD = \frac{1}{3} AC$

$\frac{NE}{AC} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3} \implies NE = \frac{2}{3} AC$

6. Сравнивая длины отрезков, видим, что $NE = \frac{2}{3} AC$ больше, чем $MD = \frac{1}{3} AC$. Следовательно, $NE$ является наибольшим из двух отрезков. По условию, этот отрезок на 5 см меньше стороны $AC$. Составим уравнение:

$NE = AC - 5$

Подставим найденное выражение для $NE$:

$\frac{2}{3} AC = AC - 5$

Перенесем слагаемые:

$AC - \frac{2}{3} AC = 5$

$\frac{1}{3} AC = 5$

$AC = 5 \cdot 3 = 15$ см.

7. Теперь найдем длины искомых отрезков:

$MD = \frac{1}{3} AC = \frac{1}{3} \cdot 15 = 5$ см.

$NE = \frac{2}{3} AC = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$ см.

Проверка: наибольший отрезок $NE = 10$ см. Сторона $AC = 15$ см. $15 - 10 = 5$ см, что соответствует условию задачи.

Ответ: 5 см и 10 см.