Номер 121, страница 82 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

121. Диагональ трапеции делит её среднюю линию на отрезки, один из которых в 2 раза меньше другого. Найдите большее основание трапеции, если её меньшее основание равно 4 см.

121. Диагональ трапеции делит её среднюю линию на отрезки, один из которых в 2 раза меньше другого. Найдите большее основание трапеции, если её меньшее основание равно 4 см.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $BC$ — меньшее основание, равное по условию 4 см, а $AD$ — большее основание, длину которого нужно найти.

Пусть $MN$ — средняя линия трапеции, где $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина стороны $CD$. Диагональ $AC$ пересекает среднюю линию $MN$ в точке $K$, разделяя ее на два отрезка: $MK$ и $KN$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $M$ — середина $AB$ и $MK$ параллельна $BC$ (поскольку вся средняя линия $MN$ параллельна основаниям трапеции), то $MK$ является средней линией треугольника $ABC$.

По свойству средней линии треугольника, ее длина равна половине длины основания, которому она параллельна. Следовательно:
$MK = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Так как $N$ — середина $CD$ и $KN$ параллельна $AD$, то $KN$ является средней линией треугольника $ACD$. Следовательно:
$KN = \frac{1}{2} AD$.

По условию задачи, один из отрезков, на которые диагональ делит среднюю линию, в 2 раза меньше другого. Поскольку $AD$ является большим основанием, чем $BC$, то и отрезок $KN = \frac{1}{2} AD$ будет больше отрезка $MK = \frac{1}{2} BC$. Значит, $MK$ — это меньший отрезок, а $KN$ — больший.

Таким образом, $KN = 2 \cdot MK$. Подставим известное значение $MK$:
$KN = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Зная длину $KN$, найдем большее основание $AD$:
$4 = \frac{1}{2} AD$
$AD = 4 \cdot 2 = 8$ см.

Ответ: 8 см.