Страница 82 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

116. Параллельные прямые $m$ и $n$ пересекают стороны угла $MDP$ (рис. 102). Найдите отрезок $AA_1$, если $DA = 8$ см, $BB_1 = 18$ см, $AA_1 = DB$.

Рис. 102

116. Параллельные прямые $m$ и $n$ пересекают стороны угла $MDP$ (рис. 102). Найдите отрезок $AA_1$, если $DA = 8$ см, $BB_1 = 18$ см, $AA_1 = DB$.

Рис. 102

Согласно теореме о пропорциональных отрезках (обобщенной теореме Фалеса), если параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

В данном случае стороны угла $MDP$ (лучи $DM$ и $DP$) пересечены параллельными прямыми m и n. Следовательно, справедливо соотношение:

$ \frac{DA}{AA_1} = \frac{DB}{BB_1} $

Пусть искомая длина отрезка $AA_1$ равна x см.

По условию задачи $AA_1 = DB$, следовательно, $DB = x$.

Нам также известны следующие длины: $DA = 8$ см и $BB_1 = 18$ см.

Подставим все значения в пропорцию:

$ \frac{8}{x} = \frac{x}{18} $

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим уравнение:

$ x \cdot x = 8 \cdot 18 $

$ x^2 = 144 $

Поскольку x обозначает длину отрезка, его значение должно быть положительным. Найдем корень уравнения:

$ x = \sqrt{144} $

$ x = 12 $

Таким образом, длина отрезка $AA_1$ равна 12 см.

Ответ: 12 см.

117. Гипотенуза $AB$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ равна 12 см. Точка $N$ — середина катета $AC$. Найдите расстояние от точки $N$ до прямой $AB$.

117. Гипотенуза $AB$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ равна 12 см. Точка $N$ – середина катета $AC$. Найдите расстояние от точки $N$ до прямой $AB$.

Пусть $ABC$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, где $\angle C = 90^\circ$. По условию, гипотенуза $AB = 12$ см. Так как треугольник равнобедренный, его катеты равны: $AC = BC$. Точка $N$ является серединой катета $AC$.

Требуется найти расстояние от точки $N$ до прямой $AB$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Проведем перпендикуляр $NH$ из точки $N$ к прямой $AB$, где $H$ — точка на $AB$. Нам нужно найти длину отрезка $NH$.

Для решения задачи выполним дополнительное построение: проведем высоту $CD$ из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. В нашем равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $CD$, проведенная к основанию $AB$, является также и медианой. Следовательно, длина высоты $CD$ равна половине длины гипотенузы $AB$.

$CD = \frac{1}{2} AB = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим треугольник $ADC$. По построению, $NH \perp AB$ и $CD \perp AB$. Так как два отрезка перпендикулярны одной и той же прямой, они параллельны друг другу: $NH \parallel CD$.

По условию, точка $N$ — середина стороны $AC$. В треугольнике $ADC$ через середину стороны $AC$ (точку $N$) проведен отрезок $NH$, параллельный стороне $CD$. По теореме о средней линии треугольника, отрезок $NH$ является средней линией треугольника $ADC$.

Длина средней линии треугольника равна половине длины параллельной ей стороны. Таким образом:

$NH = \frac{1}{2} CD = \frac{6}{2} = 3$ см.

Ответ: 3 см.

118. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 12$ см, $AC = 14$ см. Через середину стороны $BC$ проведены прямые, параллельные сторонам $AB$ и $AC$. Найдите периметр образовавшегося четырёхугольника.

118. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 12$ см, $AC = 14$ см. Через середину стороны $BC$ проведены прямые, параллельные сторонам $AB$ и $AC$. Найдите периметр образовавшегося четырёхугольника.

Пусть в треугольнике $ABC$ даны стороны $AB = 12$ см и $AC = 14$ см. Обозначим середину стороны $BC$ как точку $M$.

Через точку $M$ проведем прямую, параллельную стороне $AB$. Пусть эта прямая пересекает сторону $AC$ в точке $N$. Также через точку $M$ проведем прямую, параллельную стороне $AC$. Пусть эта прямая пересекает сторону $AB$ в точке $K$. Таким образом, мы получили четырехугольник $AKMN$.

Рассмотрим свойства полученного четырехугольника $AKMN$:

• По построению, сторона $KM$ параллельна стороне $AC$ (и, следовательно, отрезку $AN$).
• По построению, сторона $MN$ параллельна стороне $AB$ (и, следовательно, отрезку $AK$).

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Значит, $AKMN$ — это параллелограмм.

Для нахождения периметра параллелограмма $AKMN$ необходимо найти длины его смежных сторон, например, $AK$ и $AN$.

Рассмотрим отрезок $KM$. Он проходит через середину стороны $BC$ (точку $M$) и параллелен стороне $AC$. По теореме о средней линии треугольника (а точнее, по следствию из теоремы Фалеса), если прямая проходит через середину одной стороны треугольника и параллельна другой стороне, то она делит третью сторону пополам. Следовательно, точка $K$ является серединой стороны $AB$. Таким образом, $AK = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \times 12 = 6$ см.

Аналогично, рассмотрим отрезок $MN$. Он проходит через середину стороны $BC$ (точку $M$) и параллелен стороне $AB$. Следовательно, точка $N$ является серединой стороны $AC$. Таким образом, $AN = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \times 14 = 7$ см.

Периметр параллелограмма $AKMN$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон. В нашем случае это $AK$ и $AN$.
$P_{AKMN} = 2 \times (AK + AN)$
$P_{AKMN} = 2 \times (6 + 7) = 2 \times 13 = 26$ см.

Стоит отметить, что периметр образовавшегося параллелограмма равен сумме длин двух сторон исходного треугольника:
$P_{AKMN} = 2 \times (AK + AN) = 2 \times (\frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}AC) = AB + AC = 12 + 14 = 26$ см.

Ответ: 26 см.

119. Через точку $M$ — середину боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$ — проведена прямая, параллельная стороне $AB$ и пересекающая основание $AD$ в точке $N$. Найдите сторону $AB$, если $MN = 8$ см.

119. Через точку $M$ – середину боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$ – проведена прямая, параллельная стороне $AB$ и пересекающая основание $AD$ в точке $N$. Найдите сторону $AB$, если $MN = 8$ см.

Для решения задачи выполним дополнительное построение. Проведем через точку $C$ прямую, параллельную стороне $AB$. Пусть точка $E$ — это точка пересечения этой прямой с основанием $AD$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCE$. По построению $CE \parallel AB$. Так как $ABCD$ — трапеция, то ее основания параллельны, то есть $BC \parallel AD$, а значит и $BC \parallel AE$, поскольку точка $E$ лежит на прямой $AD$. Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $ABCE$ — параллелограмм. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны, поэтому $AB = CE$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle DEC$. По условию, точка $M$ — середина стороны $CD$. Также по условию $MN \parallel AB$. Из нашего построения следует, что $CE \parallel AB$. По свойству транзитивности параллельных прямых, если $MN \parallel AB$ и $CE \parallel AB$, то $MN \parallel CE$.

Таким образом, в треугольнике $\triangle DEC$ отрезок $MN$ проходит через середину стороны $CD$ и параллелен стороне $CE$. По теореме о средней линии треугольника, отрезок, проходящий через середину одной стороны треугольника параллельно другой стороне, является средней линией этого треугольника. Следовательно, $MN$ — средняя линия треугольника $\triangle DEC$.

Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна. Значит:

$MN = \frac{1}{2} CE$

Из условия задачи нам известно, что $MN = 8$ см. Подставим это значение в формулу:

$8 = \frac{1}{2} CE$

Отсюда находим длину $CE$:

$CE = 2 \times 8 = 16$ см.

Так как ранее мы доказали, что $AB = CE$, то $AB = 16$ см.

Ответ: 16 см.

120. В окружности проведены хорды $AB$ и $AC$. Расстояние между точками $B$ и $C$ равно $16$ см. Найдите расстояние от середины хорды $AC$ до хорды $AB$, если $\angle CBA = 30^\circ$.

120. В окружности проведены хорды $AB$ и $AC$. Расстояние между точками $B$ и $C$ равно 16 см. Найдите расстояние от середины хорды $AC$ до хорды $AB$, если $\angle CBA = 30^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник ABC, образованный хордами AB, AC и BC. По условию, сторона $BC = 16$ см, а угол $\angle CBA = 30^{\circ}$. Пусть M — середина хорды AC. Искомое расстояние от точки M до хорды AB — это длина перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую, содержащую хорду AB. Обозначим основание этого перпендикуляра буквой H. Таким образом, нам нужно найти длину отрезка MH, где $MH \perp AB$.

Для решения задачи проведем дополнительное построение: из вершины C опустим высоту CK на прямую AB. Так как по построению $CK \perp AB$ и по определению расстояния $MH \perp AB$, то прямые MH и CK параллельны ($MH \parallel CK$).

Теперь рассмотрим треугольник ACK. Точка M является серединой стороны AC по условию. Прямая MH проходит через середину стороны AC и параллельна стороне CK. По теореме о средней линии треугольника, отрезок MH является средней линией треугольника ACK. Следовательно, его длина равна половине длины стороны CK:

$MH = \frac{1}{2} CK$

Чтобы найти MH, нам нужно вычислить длину высоты CK. Рассмотрим прямоугольный треугольник CKB ($\angle CKB = 90^{\circ}$). В этом треугольнике нам известна длина гипотенузы $BC = 16$ см и угол $\angle KBC = \angle CBA = 30^{\circ}$.

Катет CK лежит напротив угла в $30^{\circ}$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. Таким образом:

$CK = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Теперь мы можем найти искомое расстояние MH:

$MH = \frac{1}{2} \cdot CK = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Ответ: 4 см.

121. Диагональ трапеции делит её среднюю линию на отрезки, один из которых в 2 раза меньше другого. Найдите большее основание трапеции, если её меньшее основание равно 4 см.

121. Диагональ трапеции делит её среднюю линию на отрезки, один из которых в 2 раза меньше другого. Найдите большее основание трапеции, если её меньшее основание равно 4 см.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $BC$ — меньшее основание, равное по условию 4 см, а $AD$ — большее основание, длину которого нужно найти.

Пусть $MN$ — средняя линия трапеции, где $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина стороны $CD$. Диагональ $AC$ пересекает среднюю линию $MN$ в точке $K$, разделяя ее на два отрезка: $MK$ и $KN$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $M$ — середина $AB$ и $MK$ параллельна $BC$ (поскольку вся средняя линия $MN$ параллельна основаниям трапеции), то $MK$ является средней линией треугольника $ABC$.

По свойству средней линии треугольника, ее длина равна половине длины основания, которому она параллельна. Следовательно:
$MK = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Так как $N$ — середина $CD$ и $KN$ параллельна $AD$, то $KN$ является средней линией треугольника $ACD$. Следовательно:
$KN = \frac{1}{2} AD$.

По условию задачи, один из отрезков, на которые диагональ делит среднюю линию, в 2 раза меньше другого. Поскольку $AD$ является большим основанием, чем $BC$, то и отрезок $KN = \frac{1}{2} AD$ будет больше отрезка $MK = \frac{1}{2} BC$. Значит, $MK$ — это меньший отрезок, а $KN$ — больший.

Таким образом, $KN = 2 \cdot MK$. Подставим известное значение $MK$:
$KN = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Зная длину $KN$, найдем большее основание $AD$:
$4 = \frac{1}{2} AD$
$AD = 4 \cdot 2 = 8$ см.

Ответ: 8 см.