Страница 75 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

48. Докажите, что параллелограмм, диагонали которого равны и делят его углы пополам, является квадратом.

48. Докажите, что параллелограмм, диагонали которого равны и делят его углы пополам, является квадратом.

Для доказательства того, что данный параллелограмм является квадратом, необходимо показать, что он обладает свойствами и прямоугольника (все углы прямые), и ромба (все стороны равны). Пусть дан параллелограмм $ABCD$, в котором диагонали равны ($AC = BD$) и делят его углы пополам.

Сначала докажем, что $ABCD$ является прямоугольником. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$. Они равны по трем сторонам: 1) $AB = DC$ (как противоположные стороны параллелограмма), 2) $AD$ — общая сторона, 3) $BD = AC$ (по условию). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BAD = \angle CDA$. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, поэтому $\angle BAD + \angle CDA = 180^\circ$. Так как эти углы равны, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Теперь докажем, что $ABCD$ является ромбом. По условию, диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle A$, следовательно, $\angle BAC = \angle DAC$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $BC \parallel AD$, а $AC$ — секущая. Поэтому накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ равны. Из этих двух равенств получаем, что $\angle BAC = \angle BCA$. Это означает, что треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, и, следовательно, $AB = BC$. Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны ($AB=DC$ и $BC=AD$), равенство смежных сторон $AB=BC$ означает, что все стороны параллелограмма равны между собой. Параллелограмм с равными сторонами является ромбом.

Так как параллелограмм $ABCD$ является одновременно и прямоугольником (все углы прямые), и ромбом (все стороны равны), то по определению он является квадратом.

Ответ: Утверждение доказано.

49. Сумма расстояний от точки пересечения диагоналей квадрата до его сторон равна 20 см. Найдите сторону квадрата.

49. Сумма расстояний от точки пересечения диагоналей квадрата до его сторон равна 20 см. Найдите сторону квадрата.

Пусть сторона квадрата равна $a$. Точка пересечения диагоналей квадрата является его центром. Эта точка равноудалена от всех четырех сторон квадрата.

Расстояние от центра квадрата до любой из его сторон равно половине длины стороны, то есть $\frac{a}{2}$.

Сумма расстояний от точки пересечения диагоналей до всех четырех сторон квадрата вычисляется как сумма четырех одинаковых расстояний:

Сумма = $\frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = 4 \cdot \frac{a}{2} = 2a$.

Согласно условию задачи, эта сумма равна 20 см. Мы можем составить уравнение:

$2a = 20$

Чтобы найти сторону квадрата $a$, разделим обе части уравнения на 2:

$a = \frac{20}{2}$

$a = 10$ см.

Ответ: 10 см.

50. В прямоугольном треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC = 10$ см. Две стороны квадрата $CDEF$ лежат на катетах треугольника $ABC$, а вершина $E$ принадлежит гипотенузе $AB$. Найдите отрезок $AD$.

50. В прямоугольном треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC = 10$ см. Две стороны квадрата $CDEF$ лежат на катетах треугольника $ABC$, а вершина $E$ принадлежит гипотенузе $AB$. Найдите отрезок $AD$.

По условию задачи, дан прямоугольный треугольник $ABC$, у которого катеты равны: $AC = BC = 10$ см. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, а его углы при гипотенузе $AB$ равны $45°$.

$∠CAB = ∠CBA = (180° - 90°)/2 = 45°$.

В треугольник вписан квадрат $CDEF$. Две его стороны, $CD$ и $CF$, лежат на катетах $AC$ и $BC$ соответственно. Это значит, что вершина $C$ квадрата совпадает с вершиной прямого угла треугольника. Вершина $E$ квадрата лежит на гипотенузе $AB$.

Обозначим сторону квадрата через $x$. Тогда $CD = DE = x$.

Поскольку точка $D$ лежит на катете $AC$, мы можем выразить длину отрезка $AD$ через сторону квадрата:

$AD = AC - CD = 10 - x$.

Рассмотрим треугольник $ADE$. Так как $CDEF$ — квадрат, его сторона $DE$ параллельна стороне $CF$, а значит, и катету $BC$. Поскольку $AC \perp BC$, то и $AC \perp DE$. Следовательно, $∠ADE = 90°$, и треугольник $ADE$ является прямоугольным.

Угол $A$ у треугольников $ABC$ и $ADE$ общий, поэтому $∠DAE = ∠CAB = 45°$.

В прямоугольном треугольнике $ADE$ один из острых углов равен $45°$, значит, и второй острый угол $∠AED$ тоже равен $45°$ ($90° - 45° = 45°$). Таким образом, треугольник $ADE$ является равнобедренным, и его катеты равны:

$AD = DE$.

Теперь приравняем выражения, которые мы получили для $AD$ и $DE$:

$10 - x = x$

Решим это простое уравнение:

$2x = 10$

$x = 5$ см.

Мы нашли, что сторона квадрата равна 5 см. Теперь можем найти длину искомого отрезка $AD$:

$AD = 10 - x = 10 - 5 = 5$ см.

Ответ: 5 см.

51. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник. Квадрат со стороной 6 см построен так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах данного треугольника. Найдите высоту треугольника, проведённую к гипотенузе.

51. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник. Квадрат со стороной 6 см построен так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах данного треугольника. Найдите высоту треугольника, проведённую к гипотенузе.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Поскольку треугольник равнобедренный, его углы при основании (гипотенузе) равны: $\angle A = \angle B = 45^\circ$.

В этот треугольник вписан квадрат $KLMN$ со стороной 6 см. Две вершины квадрата, $K$ и $L$, лежат на гипотенузе $AB$, а две другие вершины, $N$ и $M$, — на катетах $AC$ и $BC$ соответственно. Из этого следует, что сторона квадрата $KL$ лежит на гипотенузе $AB$, а стороны $NK$ и $ML$ перпендикулярны гипотенузе $AB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ANK$. Угол $\angle AKN$ является прямым, так как $NK$ — сторона квадрата, перпендикулярная $KL$. Угол $\angle A = 45^\circ$ по условию. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то $\angle ANK = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку в треугольнике $\triangle ANK$ два угла равны ($\angle A = \angle ANK = 45^\circ$), он является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны: $AK = NK$. Так как $NK$ — это сторона квадрата, ее длина равна 6 см. Значит, $AK = 6$ см.

Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle BML$. Он также является прямоугольным ($\angle BLM = 90^\circ$) и равнобедренным, так как $\angle B = 45^\circ$. Следовательно, $BL = ML = 6$ см.

Гипотенуза $AB$ состоит из трех отрезков: $AK$, $KL$ и $LB$. Найдем ее длину, зная, что $KL$ также является стороной квадрата и равна 6 см: $AB = AK + KL + LB = 6 \text{ см} + 6 \text{ см} + 6 \text{ см} = 18 \text{ см}$.

Высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. Обозначим эту высоту $CH$. Тогда: $CH = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 18 = 9 \text{ см}$.

Ответ: 9 см.

52. На продолжении стороны $BC$ квадрата $ABCD$ за точку $C$ отметили точку $K$ такую, что $\angle KAD = 2\angle CAK$.

Найдите отрезок $AK$, если сторона квадрата равна 4 см.

52. На продолжении стороны $BC$ квадрата $ABCD$ за точ-ку $C$ отметили точку $K$ такую, что $\angle KAD = 2\angle CAK$.

Найдите отрезок $AK$, если сторона квадрата равна 4 см.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a=4$ см. Диагональ $AC$ квадрата является биссектрисой угла $\angle DAB$. Так как $\angle DAB = 90^\circ$, то $\angle DAC = \angle CAB = 45^\circ$.

Точка $K$ лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $C$. Рассмотрим лучи, выходящие из вершины $A$: $AD$, $AC$ и $AK$. Так как точка $K$ находится на прямой, содержащей сторону $BC$, но вне отрезка $BC$ со стороны точки $C$, то луч $AK$ будет расположен между лучами $AD$ и $AC$. Следовательно, угол $\angle DAC$ складывается из углов $\angle DAK$ и $\angle CAK$.

$\angle DAC = \angle DAK + \angle CAK$

По условию задачи, $\angle KAD = 2\angle CAK$. Обозначим $\angle CAK = \alpha$. Тогда $\angle KAD = 2\alpha$. Подставим эти выражения и известное значение $\angle DAC = 45^\circ$ в равенство выше:

$45^\circ = 2\alpha + \alpha$

$3\alpha = 45^\circ$

$\alpha = 15^\circ$

Таким образом, мы нашли, что $\angle CAK = 15^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ACK$ для вычисления длины стороны $AK$.

Сторона $AC$ является диагональю квадрата со стороной $a=4$ см, ее длина равна $AC = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Найдем угол $\angle ACK$. Так как точки $B$, $C$, $K$ лежат на одной прямой, а угол $\angle BCA$ в квадрате равен $45^\circ$, то смежный с ним угол $\angle ACK = 180^\circ - \angle BCA = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Зная два угла треугольника $\triangle ACK$ ($\angle CAK = 15^\circ$ и $\angle ACK = 135^\circ$), найдем третий угол $\angle AKC$:

$\angle AKC = 180^\circ - (\angle CAK + \angle ACK) = 180^\circ - (15^\circ + 135^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Применим теорему синусов к треугольнику $\triangle ACK$:

$\frac{AK}{\sin(\angle ACK)} = \frac{AC}{\sin(\angle AKC)}$

$\frac{AK}{\sin(135^\circ)} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin(30^\circ)}$

Отсюда выразим $AK$:

$AK = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sin(135^\circ)}{\sin(30^\circ)}$

Подставим известные значения синусов: $\sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

$AK = \frac{4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{4 \cdot 2 / 2}{1/2} = \frac{4}{1/2} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

53. Постройте квадрат по отрезку, соединяющему середины двух соседних его сторон.

53. Постройте квадрат по отрезку, соединяющему середины двух соседних его сторон.

Анализ

Пусть искомый квадрат – это $ABCD$, а $M$ и $N$ – середины его смежных сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Дан отрезок $MN$.

Рассмотрим треугольник $MBN$. Так как $ABCD$ – квадрат, то $\angle ABC = 90^\circ$. Точки $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $BC$, поэтому $MB = \frac{1}{2}AB$ и $BN = \frac{1}{2}BC$. Поскольку в квадрате все стороны равны ($AB = BC$), то и $MB = BN$.

Следовательно, треугольник $MBN$ является равнобедренным прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $B$. Отрезок $MN$ является его гипотенузой.

Таким образом, задача сводится к построению вершины $B$ этого треугольника по его гипотенузе $MN$, а затем – к построению всего квадрата.

Построение

Пусть дан отрезок $MN$.
1. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $MN$. Для этого проведём две окружности одинакового радиуса (большего, чем половина длины $MN$) с центрами в точках $M$ и $N$. Через точки пересечения этих окружностей проведём прямую. Эта прямая является серединным перпендикуляром к $MN$. Обозначим точку пересечения этой прямой с отрезком $MN$ как $O$.
2. Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OM$.
3. Точки пересечения окружности и серединного перпендикуляра являются возможными положениями вершины $B$ искомого квадрата. Выберем одну из них и обозначим ее $B$.
4. Проведём прямую через точки $B$ и $M$.
5. На этой прямой отложим от точки $M$ отрезок $MA$, равный $MB$, так, чтобы точка $M$ оказалась между $A$ и $B$. Точка $A$ – одна из вершин квадрата.
6. Проведём прямую через точки $B$ и $N$.
7. На этой прямой отложим от точки $N$ отрезок $NC$, равный $NB$, так, чтобы точка $N$ оказалась между $B$ и $C$. Точка $C$ – еще одна вершина квадрата.
8. Для нахождения четвертой вершины $D$ построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $AB$ и окружность с центром в точке $C$ и радиусом $BC$. Точка их пересечения (отличная от $B$) и будет вершиной $D$.
9. Соединим последовательно точки $A$, $B$, $C$, $D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ – искомый квадрат.

Доказательство

По построению (шаги 1-3), точка $B$ лежит на окружности с диаметром $MN$. Следовательно, по теореме о вписанном угле, угол $\angle MBN$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$.

Также точка $B$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $MN$, следовательно, она равноудалена от его концов, то есть $MB = NB$.

Таким образом, треугольник $MBN$ – равнобедренный и прямоугольный.

По построению (шаги 4-7), $M$ – середина $AB$ ($AM = MB$) и $N$ – середина $BC$ ($CN = NB$).

Из того, что $MB = NB$, следует, что стороны $AB = 2 \cdot MB$ и $BC = 2 \cdot NB$ равны между собой.

Угол $\angle ABC$ совпадает с углом $\angle MBN$, так как их стороны лежат на одних и тех же прямых ($AB$ на прямой $MB$, $BC$ на прямой $NB$). Следовательно, $\angle ABC = 90^\circ$.

По построению (шаг 8), $AD = BC$ и $CD = AB$. Так как мы уже доказали, что $AB = BC$, то все стороны четырехугольника $ABCD$ равны ($AB = BC = CD = DA$). Это означает, что $ABCD$ – ромб.

Поскольку у ромба $ABCD$ есть прямой угол ($\angle ABC = 90^\circ$), то этот ромб является квадратом.

Таким образом, построенный четырехугольник $ABCD$ является квадратом, а точки $M$ и $N$ – серединами его смежных сторон. Построение выполнено верно.

Ответ: Искомый квадрат строится согласно приведенному выше алгоритму.

54. Найдите средние линии треугольника, если его стороны равны 10 см, 16 см и 20 см.

54. Найдите средние линии треугольника, если его стороны равны 10 см, 16 см и 20 см.

Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух его сторон. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника, и её длина равна половине длины этой стороны.

В задаче дан треугольник со сторонами $a = 10$ см, $b = 16$ см и $c = 20$ см. У этого треугольника есть три средние линии, каждая из которых соответствует одной из сторон. Найдем длину каждой из них.

1. Длина средней линии, параллельной стороне 10 см, равна её половине:
$m_1 = \frac{1}{2} \times 10 \text{ см} = 5 \text{ см}$

2. Длина средней линии, параллельной стороне 16 см, равна её половине:
$m_2 = \frac{1}{2} \times 16 \text{ см} = 8 \text{ см}$

3. Длина средней линии, параллельной стороне 20 см, равна её половине:
$m_3 = \frac{1}{2} \times 20 \text{ см} = 10 \text{ см}$

Таким образом, длины средних линий треугольника равны 5 см, 8 см и 10 см.

Ответ: 5 см, 8 см, 10 см.

55. Могут ли средние линии треугольника быть равными 5 см, 6 см и 12 см?

55. Могут ли средние линии треугольника быть равными 5 см, 6 см и 12 см?

По определению, средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон и равна половине третьей стороны. Если средние линии треугольника равны 5 см, 6 см и 12 см, то стороны исходного треугольника должны быть в два раза больше.

Найдем длины сторон предполагаемого треугольника $a, b, c$:

$a = 2 \cdot 5 = 10$ см

$b = 2 \cdot 6 = 12$ см

$c = 2 \cdot 12 = 24$ см

Теперь необходимо проверить, может ли существовать треугольник с такими сторонами. Для этого воспользуемся неравенством треугольника, которое гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны.

Проверим выполнение этого условия для наших сторон:

$a + b > c$

$10 + 12 > 24$

$22 > 24$

Данное неравенство является ложным, так как 22 меньше 24. Поскольку основное свойство треугольника не выполняется, треугольник со сторонами 10 см, 12 см и 24 см существовать не может.

Следовательно, средние линии треугольника не могут быть равными 5 см, 6 см и 12 см.

Ответ: нет, не могут.

56. Периметр треугольника равен 22 см. Найдите периметр треугольника, вершины которого — середины сторон данного треугольника.

56. Периметр треугольника равен $22 \text{ см}$. Найдите периметр треугольника, вершины которого — середины сторон данного треугольника.

Пусть стороны данного треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Его периметр $P_1$ по условию равен 22 см.

$P_1 = a + b + c = 22$ см.

Треугольник, вершины которого являются серединами сторон данного треугольника, называется срединным треугольником. Стороны срединного треугольника являются средними линиями исходного треугольника.

По свойству средней линии треугольника, её длина равна половине длины той стороны, которой она параллельна. Таким образом, стороны нового треугольника будут равны $\frac{a}{2}$, $\frac{b}{2}$ и $\frac{c}{2}$.

Найдем периметр $P_2$ нового треугольника, сложив длины его сторон:

$P_2 = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$P_2 = \frac{1}{2}(a + b + c)$

Так как выражение в скобках $(a + b + c)$ равно периметру исходного треугольника $P_1$, то:

$P_2 = \frac{1}{2} P_1$

Подставим известное значение $P_1 = 22$ см в формулу:

$P_2 = \frac{1}{2} \cdot 22 = 11$ см.

Ответ: 11 см.

57. Периметр треугольника равен 68 см, а его средние линии относятся как $4 : 6 : 7$. Найдите стороны данного треугольника.

57. Периметр треугольника равен 68 см, а его средние линии относятся как $4 : 6 : 7$. Найдите стороны данного треугольника.

Пусть стороны искомого треугольника равны $a$, $b$ и $c$. По условию, его периметр $P = a + b + c = 68$ см.

Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон и по свойству равна половине третьей стороны. Это означает, что треугольник, образованный средними линиями, подобен исходному треугольнику с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.

Следовательно, отношение сторон исходного треугольника равно отношению его средних линий. По условию, средние линии относятся как $4 : 6 : 7$, значит, и стороны треугольника относятся так же:

$a : b : c = 4 : 6 : 7$

Пусть $x$ — коэффициент пропорциональности. Тогда длины сторон треугольника можно выразить как:

$a = 4x$
$b = 6x$
$c = 7x$

Периметр треугольника — это сумма длин его сторон. Составим и решим уравнение:

$a + b + c = 68$
$4x + 6x + 7x = 68$
$17x = 68$

Найдем значение $x$:

$x = \frac{68}{17} = 4$

Теперь, зная коэффициент $x$, найдем длины каждой стороны:

$a = 4x = 4 \cdot 4 = 16$ см
$b = 6x = 6 \cdot 4 = 24$ см
$c = 7x = 7 \cdot 4 = 28$ см

Ответ: 16 см, 24 см, 28 см.

58. Диагонали четырёхугольника равны 4 см и 9 см, а угол между ними — $64^{\circ}$. Найдите стороны и углы четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырёхугольника.

58. Диагонали четырёхугольника равны 4 см и 9 см, а угол между ними — $64^\circ$. Найдите стороны и углы четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырёхугольника.

Пусть $ABCD$ — исходный четырёхугольник, а $M, N, P, Q$ — середины его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. По условию, диагонали $AC = 9$ см, $BD = 4$ см, а угол между ними равен $64^\circ$.

Четырёхугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом. Это утверждение известно как теорема Вариньона. Стороны этого параллелограмма параллельны диагоналям исходного четырёхугольника, а их длины равны половинам длин соответствующих диагоналей.

Стороны четырёхугольника

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, является его средней линией. По свойству средней линии треугольника, $MN$ параллельна стороне $AC$ и равна её половине.
$MN = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 9 = 4,5$ см.
Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $PQ$ является средней линией, поэтому он также параллелен $AC$ и равен $PQ = \frac{1}{2} AC = 4,5$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $MQ$ является его средней линией, так как соединяет середины сторон $AB$ и $AD$. Следовательно, $MQ$ параллельна стороне $BD$ и равна её половине.
$MQ = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.
Аналогично, в треугольнике $BCD$ отрезок $NP$ является средней линией, поэтому $NP = \frac{1}{2} BD = 2$ см.
Таким образом, искомый четырёхугольник $MNPQ$ является параллелограммом со сторонами 4,5 см и 2 см.
Ответ: две стороны равны 4,5 см, две другие стороны равны 2 см.

Углы четырёхугольника

Мы установили, что стороны параллелограмма $MNPQ$ попарно параллельны диагоналям исходного четырёхугольника: $MN \parallel AC$ и $MQ \parallel BD$. Угол между пересекающимися прямыми равен углу между любыми другими двумя прямыми, которые соответственно им параллельны. Следовательно, углы параллелограмма $MNPQ$ равны углам, которые образуют диагонали $AC$ и $BD$ при пересечении.

По условию, один из углов между диагоналями равен $64^\circ$. При пересечении двух прямых образуются две пары равных (вертикальных) углов. Одна пара углов равна $64^\circ$. Углы из другой пары смежны с углами в $64^\circ$, поэтому они равны:
$180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$.

В параллелограмме противолежащие углы равны, а соседние в сумме составляют $180^\circ$. Таким образом, углы параллелограмма $MNPQ$ будут равны $64^\circ$ и $116^\circ$.
Ответ: два противолежащих угла равны $64^\circ$, а два других — $116^\circ$.