Страница 72 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

26. Постройте параллелограмм $ABCD$, если заданы точки $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно и точка $O$ – точка пересечения диагоналей параллелограмма.

26. Постройте параллелограмм $ABCD$, если заданы точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно и точка $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма.

Для построения параллелограмма $ABCD$ по заданным точкам $M$ (середина $AB$), $N$ (середина $BC$) и $O$ (точка пересечения диагоналей) необходимо сначала определить положение одной из вершин, например, вершины $B$.

Проведем анализ. Пусть искомый параллелограмм $ABCD$ построен. Точка $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$. В треугольнике $ABD$ отрезок $MO$ соединяет середины сторон $AB$ и $BD$, следовательно, $MO$ является средней линией. По свойству средней линии, $MO \parallel AD$ и $MO = \frac{1}{2}AD$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, то $AD \parallel BC$ и $AD = BC$. Точка $N$ является серединой стороны $BC$, поэтому $BN = \frac{1}{2}BC$ и отрезок $BN$ лежит на прямой $BC$.

Из этих соотношений следует, что $MO \parallel BN$ и $MO = BN$. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Таким образом, четырехугольник $MONB$ является параллелограммом. Это свойство позволяет нам найти вершину $B$, а затем и все остальные вершины параллелограмма $ABCD$.

На основе этого анализа можно сформулировать следующий алгоритм построения:

1. Соединить отрезками точки $M$, $O$ и $N$.

2. Построить вершину $B$ как четвертую вершину параллелограмма $MONB$. Для этого нужно провести через точку $N$ прямую, параллельную отрезку $MO$, и через точку $M$ прямую, параллельную отрезку $ON$. Точка пересечения этих прямых и будет вершиной $B$.

3. Построить вершину $A$. Так как $M$ — середина $AB$, нужно провести прямую через точки $B$ и $M$ и отложить на ней от точки $M$ отрезок $MA$, равный отрезку $BM$, так, чтобы точка $M$ оказалась между $A$ и $B$.

4. Построить вершину $C$. Так как $N$ — середина $BC$, нужно провести прямую через точки $B$ и $N$ и отложить на ней от точки $N$ отрезок $NC$, равный отрезку $BN$, так, чтобы точка $N$ оказалась между $B$ и $C$.

5. Построить вершину $D$. Так как $O$ — середина $BD$, нужно провести прямую через точки $B$ и $O$ и отложить на ней от точки $O$ отрезок $OD$, равный отрезку $BO$, так, чтобы точка $O$ оказалась между $B$ и $D$.

6. Соединить последовательно точки $A, B, C, D$.

Докажем, что полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом. По построению, $M$, $N$ и $O$ являются серединами отрезков $AB$, $BC$ и $BD$ соответственно. В четырехугольнике $ABCD$ диагональ $BD$ имеет середину в точке $O$. В $\triangle ABD$ отрезок $MO$ является средней линией, поэтому $\vec{MO} = \frac{1}{2}\vec{AD}$. По построению $MONB$ — параллелограмм, поэтому $\vec{MO} = \vec{BN}$. Так как $N$ — середина $BC$, то $\vec{BN} = \frac{1}{2}\vec{BC}$. Следовательно, $\frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{BC}$, что означает $\vec{AD} = \vec{BC}$. Таким образом, стороны $AD$ и $BC$ равны и параллельны, а значит, $ABCD$ — параллелограмм. Его диагональ $BD$ имеет серединой точку $O$. Так как в параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, то и диагональ $AC$ проходит через точку $O$ и делится ею пополам. Таким образом, построенный параллелограмм $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Задача имеет единственное решение, если точки $M, O, N$ не лежат на одной прямой. В противном случае параллелограмм вырождается в отрезок.

Ответ: Построение параллелограмма $ABCD$ выполняется в несколько шагов: сначала находится вершина $B$ как четвертая вершина параллелограмма $MONB$, затем, используя тот факт, что точки $M$, $N$ и $O$ являются серединами соответствующих отрезков, последовательно строятся вершины $A$ (симметрично $B$ относительно $M$), $C$ (симметрично $B$ относительно $N$) и $D$ (симметрично $B$ относительно $O$).

27. Постройте параллелограмм $ABCD$, если заданы его вершина $A$, точка $M$ — середина стороны $BC$, точка $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма.

27. Постройте параллелограмм $ABCD$, если заданы его вершина $A$, точка $M$ — середина стороны $BC$, точка $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма.

Для решения задачи на построение параллелограмма $ABCD$ по заданным элементам (вершина $A$, середина стороны $BC$ — точка $M$, и точка пересечения диагоналей $O$) используем метод анализа, который позволит определить последовательность шагов построения.

Анализ

Предположим, что параллелограмм $ABCD$ построен. Воспользуемся известными свойствами параллелограмма:
- Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$. Из этого следует, что $AO = OC$ и $BO = OD$.
- Точка $M$ по условию является серединой стороны $BC$. Следовательно, $BM = MC$.
Из этих свойств вытекает следующий план построения:
1. Зная положение точек $A$ и $O$, мы можем построить точку $C$, так как $C$ симметрична $A$ относительно $O$.
2. Зная положение точки $C$ (из предыдущего шага) и точки $M$, мы можем построить точку $B$, так как $B$ симметрична $C$ относительно $M$.
3. Зная положение точки $B$ (из предыдущего шага) и точки $O$, мы можем построить точку $D$, так как $D$ симметрична $B$ относительно $O$.
Таким образом, все вершины параллелограмма могут быть однозначно определены.

Построение

Выполним построение с помощью циркуля и линейки:
1. Проводим прямую через точки $A$ и $O$.
2. На этой прямой от точки $O$ откладываем отрезок $OC$, равный отрезку $AO$, так, чтобы точка $O$ лежала между $A$ и $C$. Точка $C$ — искомая вершина.
3. Проводим прямую через точки $C$ и $M$.
4. На этой прямой от точки $M$ откладываем отрезок $MB$, равный отрезку $CM$, так, чтобы точка $M$ лежала между $C$ и $B$. Точка $B$ — искомая вершина.
5. Проводим прямую через точки $B$ и $O$.
6. На этой прямой от точки $O$ откладываем отрезок $OD$, равный отрезку $BO$, так, чтобы точка $O$ лежала между $B$ и $D$. Точка $D$ — искомая вершина.
7. Соединяем последовательно отрезками точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.

Доказательство

Докажем, что построенный четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом и удовлетворяет условиям задачи.
По построению, точка $O$ является серединой отрезков $AC$ и $BD$. По признаку параллелограмма, четырехугольник, диагонали которого пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.
Вершина $A$ задана изначально. Точка $O$ является точкой пересечения диагоналей. По построению, точка $M$ является серединой стороны $BC$.
Таким образом, построенный параллелограмм удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Для построения искомого параллелограмма $ABCD$ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Построить точку $C$, симметричную точке $A$ относительно точки $O$.
2. Построить точку $B$, симметричную точке $C$ относительно точки $M$.
3. Построить точку $D$, симметричную точке $B$ относительно точки $O$.
4. Соединить отрезками точки $A, B, C$ и $D$.

28. Диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются

в точке $O$. Известно, что $AO = OC$. Какое условие

должно выполняться для отрезков $BO$ и $OD$, чтобы четырёхугольник $ABCD$ был параллелограммом?

28. Диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Известно, что $AO = OC$. Какое условие должно выполняться для отрезков $BO$ и $OD$, чтобы четырёхугольник $ABCD$ был параллелограммом?

Согласно одному из признаков параллелограмма, четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

В заданном четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По условию, для диагонали AC уже выполняется равенство $AO = OC$. Это означает, что точка O является серединой диагонали AC.

Чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом, необходимо, чтобы и вторая диагональ, BD, также делилась точкой пересечения O пополам. Для этого должно выполняться условие $BO = OD$.

Докажем, что это условие является достаточным. Рассмотрим треугольники ΔAOB и ΔCOD.

1. $AO = OC$ (по условию).
2. $BO = OD$ (требуемое условие).
3. $\angle AOB = \angle COD$ (как вертикальные углы).

Следовательно, треугольники ΔAOB и ΔCOD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что $AB = CD$ и $\angle OAB = \angle OCD$. Углы $\angle OAB$ и $\angle OCD$ являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AC. Так как эти углы равны, то прямые AB и CD параллельны ($AB \parallel CD$).

В четырехугольнике ABCD две противоположные стороны (AB и CD) равны и параллельны. Согласно признаку параллелограмма, такой четырехугольник является параллелограммом.

Таким образом, для того чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом, для отрезков BO и OD должно выполняться условие их равенства.

Ответ: $BO = OD$.

29. В четырёхугольнике ABCD (рис. 86) $AO = OC$, $\angle ACD = \angle BAC$. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Рис. 86

29. В четырёхугольнике $ABCD$ (рис. 86) $AO = OC$, $\angle ACD = \angle BAC$. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Рис. 86

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, необходимо установить, что он удовлетворяет одному из признаков параллелограмма. Рассмотрим два способа доказательства, основанных на данных задачи.

Способ 1. Через равенство и параллельность противоположных сторон.

1. Рассмотрим прямые AB и CD, а также секущую AC. Углы $\angle BAC$ и $\angle ACD$ являются накрест лежащими. По условию задачи, $\angle BAC = \angle ACD$. Согласно признаку параллельности прямых, если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, $AB \parallel CD$.

2. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$, которые образовались при пересечении диагоналей AC и BD в точке O. В этих треугольниках:

• $AO = OC$ (по условию).
• $\angle OAB = \angle OCD$ (так как это те же углы, что и $\angle BAC$ и $\angle ACD$ из условия).
• $\angle AOB = \angle COD$ (как вертикальные углы).

Следовательно, $\triangle AOB \cong \triangle COD$ по стороне и двум углам (признак AAS).

3. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно $AB = CD$.

4. Мы доказали, что в четырехугольнике ABCD две противоположные стороны AB и CD одновременно параллельны ($AB \parallel CD$) и равны ($AB = CD$). По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Способ 2. Через диагонали.

1. Как и в первом способе, докажем равенство треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle COD$. Мы установили, что они равны по стороне и двум углам ($AO = OC$, $\angle OAB = \angle OCD$, $\angle AOB = \angle COD$).

2. Из равенства треугольников $\triangle AOB \cong \triangle COD$ следует равенство их соответствующих сторон. В частности, $BO = OD$.

3. По условию нам дано, что $AO = OC$, и мы только что доказали, что $BO = OD$. Это означает, что диагонали AC и BD в точке их пересечения O делятся пополам.

4. По признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу.

Ответ: Четырехугольник ABCD является параллелограммом, что и требовалось доказать.

30. На рисунке 87 четырёхугольник ABCD – параллелограмм. На диагонали AC отметили точки T и N, а на диагонали BD – точки M и P так, что $AT = CN$, $BM = DP$. Докажите, что четырёхугольник MNPT – параллелограмм.

Рис. 87

30. На рисунке 87 четырёхугольник $ABCD$ – параллелограмм. На диагонали $AC$ отметили точки $T$ и $N$, а на диагонали $BD$ – точки $M$ и $P$ так, что $AT = CN$, $BM = DP$. Докажите, что четырёхугольник $MNPT$ – параллелограмм.

Рис. 87

Доказательство:

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$.

По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO = OC$ и $BO = OD$.

Рассмотрим отрезки $OT$ и $ON$, которые являются частями диагонали $AC$. Так как точка $T$ лежит на отрезке $AO$, а точка $N$ на отрезке $OC$ (исходя из рисунка и условия $AT = CN < AC/2$), мы можем записать:

$OT = AO - AT$

$ON = OC - CN$

Поскольку $AO = OC$ и, по условию, $AT = CN$, то из этих равенств следует, что $OT = ON$. Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $NT$.

Теперь рассмотрим отрезки $OM$ и $OP$, которые являются частями диагонали $BD$. Аналогично, мы можем записать:

$OM = BO - BM$

$OP = OD - DP$

Поскольку $BO = OD$ и, по условию, $BM = DP$, то из этих равенств следует, что $OM = OP$. Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $MP$.

Таким образом, мы установили, что диагонали четырехугольника $MNPT$ (отрезки $NT$ и $MP$) пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам ($OT = ON$ и $OM = OP$).

Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник $MNPT$ — параллелограмм.

Ответ: Что и требовалось доказать.

31. На рисунке 88 $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$. Най- дите отрезок $A_1C$, если $BB_1 = 8 \text{ см}$, $AC_1 = 18 \text{ см}$.

Рис. 88

31. На рисунке 88 $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$. Найдите отрезок $A_1C$, если $BB_1 = 8$ см, $AC_1 = 18$ см.

Рис. 88

По условию задачи даны два треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $, у которых соответствующие стороны равны: $ AB = A_1B_1 $, $ BC = B_1C_1 $ и $ AC = A_1C_1 $.

Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Таким образом, $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, $ \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 $.

Из рисунка видно, что точки A, A₁, C, C₁ лежат на одной прямой. Углы $ \angle BAC $ и $ \angle B_1A_1C_1 $ являются соответственными при прямых AB и A₁B₁ и секущей AC₁. Поскольку эти углы равны, прямые AB и A₁B₁ параллельны ($ AB \parallel A_1B_1 $).

Рассмотрим четырехугольник ABB₁A₁. У него две противоположные стороны AB и A₁B₁ равны ($ AB = A_1B_1 $ по условию) и параллельны ($ AB \parallel A_1B_1 $ как было доказано выше). Следовательно, четырехугольник ABB₁A₁ является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $ AA_1 = BB_1 $.

По условию $ BB_1 = 8 $ см, значит $ AA_1 = 8 $ см.

Точки A, A₁ и C₁ лежат на одной прямой. Длина отрезка AC₁ равна сумме длин отрезков AA₁ и A₁C₁:$ AC_1 = AA_1 + A_1C_1 $.

Подставим известные значения $ AC_1 = 18 $ см и $ AA_1 = 8 $ см в это равенство, чтобы найти длину A₁C₁:$ 18 = 8 + A_1C_1 $$ A_1C_1 = 18 - 8 = 10 $ см.

По условию $ AC = A_1C_1 $, следовательно, $ AC = 10 $ см.

Точки A, A₁ и C также лежат на одной прямой. Длина отрезка AC равна сумме длин отрезков AA₁ и A₁C:$ AC = AA_1 + A_1C $.

Подставим известные значения $ AC = 10 $ см и $ AA_1 = 8 $ см, чтобы найти искомый отрезок A₁C:$ 10 = 8 + A_1C $$ A_1C = 10 - 8 = 2 $ см.

Ответ: 2 см.