Номер 30, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

30. На рисунке 87 четырёхугольник ABCD – параллелограмм. На диагонали AC отметили точки T и N, а на диагонали BD – точки M и P так, что $AT = CN$, $BM = DP$. Докажите, что четырёхугольник MNPT – параллелограмм.

Рис. 87

30. На рисунке 87 четырёхугольник $ABCD$ – параллелограмм. На диагонали $AC$ отметили точки $T$ и $N$, а на диагонали $BD$ – точки $M$ и $P$ так, что $AT = CN$, $BM = DP$. Докажите, что четырёхугольник $MNPT$ – параллелограмм.

Рис. 87

Доказательство:

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$.

По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO = OC$ и $BO = OD$.

Рассмотрим отрезки $OT$ и $ON$, которые являются частями диагонали $AC$. Так как точка $T$ лежит на отрезке $AO$, а точка $N$ на отрезке $OC$ (исходя из рисунка и условия $AT = CN < AC/2$), мы можем записать:

$OT = AO - AT$

$ON = OC - CN$

Поскольку $AO = OC$ и, по условию, $AT = CN$, то из этих равенств следует, что $OT = ON$. Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $NT$.

Теперь рассмотрим отрезки $OM$ и $OP$, которые являются частями диагонали $BD$. Аналогично, мы можем записать:

$OM = BO - BM$

$OP = OD - DP$

Поскольку $BO = OD$ и, по условию, $BM = DP$, то из этих равенств следует, что $OM = OP$. Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $MP$.

Таким образом, мы установили, что диагонали четырехугольника $MNPT$ (отрезки $NT$ и $MP$) пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам ($OT = ON$ и $OM = OP$).

Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник $MNPT$ — параллелограмм.

Ответ: Что и требовалось доказать.