Номер 36, страница 73 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

36. Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до его меньшей стороны на 8 см больше, чем расстояние до большей стороны. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 72 см.

36. Расстояние от точки пересечения диагоналей прямо-угольника до его меньшей стороны на 8 см больше, чем расстояние до большей стороны. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 72 см.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, где $a$ – меньшая сторона, а $b$ – большая сторона.

Точка пересечения диагоналей в прямоугольнике является его центром. Расстояние от центра прямоугольника до его сторон равно половине длин перпендикулярных им сторон. Следовательно, расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшей стороны ($a$) равно $b/2$, а расстояние до большей стороны ($b$) равно $a/2$.

По условию задачи, расстояние до меньшей стороны на 8 см больше, чем расстояние до большей стороны. Составим первое уравнение:
$b/2 = a/2 + 8$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:
$b = a + 16$

Периметр прямоугольника равен 72 см. Формула периметра: $P = 2(a + b)$. Составим второе уравнение:
$2(a + b) = 72$
Разделим обе части уравнения на 2:
$a + b = 36$

Получили систему из двух уравнений:
1) $b = a + 16$
2) $a + b = 36$

Подставим выражение для $b$ из первого уравнения во второе:
$a + (a + 16) = 36$
$2a + 16 = 36$
$2a = 36 - 16$
$2a = 20$
$a = 10$ (см)

Теперь найдем вторую сторону $b$, подставив найденное значение $a$ в первое уравнение:
$b = 10 + 16$
$b = 26$ (см)

Итак, стороны прямоугольника равны 10 см и 26 см.
Ответ: 10 см и 26 см.