Номер 34, страница 73 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

34. В окружности с центром $O$ проведены диаметры $AC$ и $BD$ (рис. 90). Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ является прямоугольником. Найдите угол $ABD$, если $AC = 12$ см, $BC = 6$ см.

Рис. 90

34. В окружности с центром $O$ проведены диаметры $AC$ и $BD$ (рис. 90). Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ является прямоугольником. Найдите угол $ABD$, если $AC = 12$ см, $BC = 6$ см.

Рис. 90

Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником.
Диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$ являются диаметрами окружности с центром $O$. Следовательно, они равны по длине и в точке пересечения $O$ делятся пополам ($AO=OC=BO=OD$, так как все эти отрезки — радиусы).
Поскольку диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то по признаку параллелограмма, $ABCD$ — параллелограмм.
Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. Так как $AC=BD$ (как диаметры одной окружности), то параллелограмм $ABCD$ является прямоугольником.
Ответ: Утверждение доказано.

Найдите угол ABD, если AC = 12 см, BC = 6 см.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как угол $\angle ABC$ вписан в окружность и опирается на диаметр $AC$, то $\angle ABC = 90°$. Следовательно, $\triangle ABC$ — прямоугольный.
В прямоугольном $\triangle ABC$ гипотенуза $AC = 12$ см, а катет $BC = 6$ см. Найдём синус угла $\angle BAC$, который лежит напротив катета $BC$:
$\sin(\angle BAC) = \frac{BC}{AC} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
Из этого следует, что $\angle BAC = 30°$.
Рассмотрим треугольник $AOB$. Так как $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, то $OA = OB$. Следовательно, $\triangle AOB$ — равнобедренный, и углы при его основании $AB$ равны: $\angle OBA = \angle OAB$.
Угол $\angle OBA$ — это искомый угол $\angle ABD$, а угол $\angle OAB$ — это найденный нами угол $\angle BAC$. Таким образом, $\angle ABD = \angle BAC = 30°$.
Ответ: $30°$.