Номер 27, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

27. Постройте параллелограмм $ABCD$, если заданы его вершина $A$, точка $M$ — середина стороны $BC$, точка $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма.

27. Постройте параллелограмм $ABCD$, если заданы его вершина $A$, точка $M$ — середина стороны $BC$, точка $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма.

Для решения задачи на построение параллелограмма $ABCD$ по заданным элементам (вершина $A$, середина стороны $BC$ — точка $M$, и точка пересечения диагоналей $O$) используем метод анализа, который позволит определить последовательность шагов построения.

Анализ

Предположим, что параллелограмм $ABCD$ построен. Воспользуемся известными свойствами параллелограмма:
- Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$. Из этого следует, что $AO = OC$ и $BO = OD$.
- Точка $M$ по условию является серединой стороны $BC$. Следовательно, $BM = MC$.
Из этих свойств вытекает следующий план построения:
1. Зная положение точек $A$ и $O$, мы можем построить точку $C$, так как $C$ симметрична $A$ относительно $O$.
2. Зная положение точки $C$ (из предыдущего шага) и точки $M$, мы можем построить точку $B$, так как $B$ симметрична $C$ относительно $M$.
3. Зная положение точки $B$ (из предыдущего шага) и точки $O$, мы можем построить точку $D$, так как $D$ симметрична $B$ относительно $O$.
Таким образом, все вершины параллелограмма могут быть однозначно определены.

Построение

Выполним построение с помощью циркуля и линейки:
1. Проводим прямую через точки $A$ и $O$.
2. На этой прямой от точки $O$ откладываем отрезок $OC$, равный отрезку $AO$, так, чтобы точка $O$ лежала между $A$ и $C$. Точка $C$ — искомая вершина.
3. Проводим прямую через точки $C$ и $M$.
4. На этой прямой от точки $M$ откладываем отрезок $MB$, равный отрезку $CM$, так, чтобы точка $M$ лежала между $C$ и $B$. Точка $B$ — искомая вершина.
5. Проводим прямую через точки $B$ и $O$.
6. На этой прямой от точки $O$ откладываем отрезок $OD$, равный отрезку $BO$, так, чтобы точка $O$ лежала между $B$ и $D$. Точка $D$ — искомая вершина.
7. Соединяем последовательно отрезками точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.

Доказательство

Докажем, что построенный четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом и удовлетворяет условиям задачи.
По построению, точка $O$ является серединой отрезков $AC$ и $BD$. По признаку параллелограмма, четырехугольник, диагонали которого пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.
Вершина $A$ задана изначально. Точка $O$ является точкой пересечения диагоналей. По построению, точка $M$ является серединой стороны $BC$.
Таким образом, построенный параллелограмм удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Для построения искомого параллелограмма $ABCD$ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Построить точку $C$, симметричную точке $A$ относительно точки $O$.
2. Построить точку $B$, симметричную точке $C$ относительно точки $M$.
3. Построить точку $D$, симметричную точке $B$ относительно точки $O$.
4. Соединить отрезками точки $A, B, C$ и $D$.