Номер 23, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

23. Два угла параллелограмма относятся как 5 : 7. Найдите угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины острого угла.

23. Два угла параллелограмма относятся как $5 : 7$. Найдите угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины острого угла.

Пусть два соседних угла параллелограмма равны $ \angle \alpha $ и $ \angle \beta $. Сумма соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$, то есть $ \angle \alpha + \angle \beta = 180^\circ $. По условию, эти углы относятся как 5 : 7.

Пусть $ \angle \alpha = 5x $, а $ \angle \beta = 7x $. Тогда их сумма:

$ 5x + 7x = 180^\circ $

$ 12x = 180^\circ $

$ x = \frac{180^\circ}{12} = 15^\circ $

Следовательно, углы параллелограмма равны:

Острый угол: $ \angle \alpha = 5 \times 15^\circ = 75^\circ $.

Тупой угол: $ \angle \beta = 7 \times 15^\circ = 105^\circ $.

Рассмотрим параллелограмм ABCD, в котором $ \angle A = \angle C = 75^\circ $ (острые углы) и $ \angle B = \angle D = 105^\circ $ (тупые углы).

Требуется найти угол между высотами, проведёнными из вершины острого угла. Возьмём вершину A. Из этой вершины можно провести две высоты: $ AH_1 $ к прямой, содержащей сторону BC, и $ AH_2 $ к прямой, содержащей сторону DC. Искомый угол — это $ \angle H_1AH_2 $.

Докажем, что этот угол равен тупому углу параллелограмма.

Поскольку сторона AB параллельна стороне DC, то высота $ AH_2 $, проведённая перпендикулярно к прямой DC, будет также перпендикулярна и прямой AB.

Поскольку сторона AD параллельна стороне BC, то высота $ AH_1 $, проведённая перпендикулярно к прямой BC, будет также перпендикулярна и прямой AD.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые AB и AD, угол между которыми равен $ \angle DAB = 75^\circ $. И две другие пересекающиеся прямые $ AH_1 $ и $ AH_2 $, где $ AH_1 \perp AD $ и $ AH_2 \perp AB $. Угол между двумя прямыми равен углу между их перпендикулярами. Следовательно, угол между высотами $ AH_1 $ и $ AH_2 $ может быть равен либо $ 75^\circ $, либо $ 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ $.

Чтобы определить, какой из углов является искомым, рассмотрим четырёхугольник, образованный вершиной C (также вершина острого угла) и основаниями высот, опущенных из неё на продолжения смежных сторон. Пусть $CE$ — высота к прямой $AB$, а $CF$ — высота к прямой $AD$. Так как углы B и D тупые, точки E и F будут лежать на продолжениях сторон. Рассмотрим четырёхугольник AECF. Сумма его углов равна $360^\circ$.

В этом четырёхугольнике:

• $ \angle FAE = \angle DAB = 75^\circ $ (угол параллелограмма).
• $ \angle AEC = 90^\circ $ (по построению высоты).
• $ \angle AFC = 90^\circ $ (по построению высоты).
• $ \angle FCE $ — искомый угол между высотами.

Сумма углов четырёхугольника AECF:

$ \angle FAE + \angle AEC + \angle AFC + \angle FCE = 360^\circ $

$ 75^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle FCE = 360^\circ $

$ 255^\circ + \angle FCE = 360^\circ $

$ \angle FCE = 360^\circ - 255^\circ = 105^\circ $

Таким образом, угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма.

Ответ: $105^\circ$.