Номер 16, страница 70 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

16. На рисунке 84 изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неверно (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 84

a
Параллелограмм $ABCD$. Угол $DBA = 32^\circ$. Угол $BDC = 36^\circ$.

б
Параллелограмм $ABCD$. Отрезки диагоналей: 8, 5, 4, 8.

в
Параллелограмм $ABCD$. Угол $DAB = 36^\circ$. Угол $ABC = 132^\circ$.

16. На рисунке 84 изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неверно (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 84

а

A, B, C, D, $32^\circ$, $36^\circ$

б

A, B, C, D, 8, 4, 5, 8

в

A, B, C, D, $36^\circ$, $132^\circ$

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами параллелограмма.

а) В параллелограмме противоположные стороны параллельны. В данном случае сторона $AB$ параллельна стороне $DC$. Диагональ $BD$ является секущей для этих параллельных прямых. Внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей с параллельными прямыми, должны быть равны. То есть, $\angle ABD$ должен быть равен $\angle BDC$.

На рисунке указано, что $\angle ABD = 32^\circ$, а $\angle BDC = 36^\circ$.

Поскольку $32^\circ \neq 36^\circ$, данное условие не выполняется. Следовательно, величины углов на рисунке обозначены неверно.

Ответ: неверно.

б) Одним из основных свойств параллелограмма является то, что его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ — это точка $O$. Тогда должны выполняться равенства: $AO = OC$ и $BO = OD$.

На рисунке указаны длины отрезков диагоналей: $AO = 8$, $OC = 8$, $BO = 4$, $OD = 5$.

Равенство $AO = OC$ выполняется, так как $8 = 8$. Однако, равенство $BO = OD$ не выполняется, так как $4 \neq 5$. Следовательно, длины отрезков на рисунке обозначены неверно.

Ответ: неверно.

в) В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Углы $\angle A$ и $\angle B$ прилежат к стороне $AB$, поэтому их сумма должна быть равна $180^\circ$.

На рисунке указано, что $\angle A = 36^\circ$ и $\angle B = 132^\circ$.

Проверим их сумму: $\angle A + \angle B = 36^\circ + 132^\circ = 168^\circ$.

Поскольку $168^\circ \neq 180^\circ$, свойство параллелограмма не выполняется. Следовательно, величины углов на рисунке обозначены неверно.

Ответ: неверно.