Номер 11, страница 70 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

11. В четырёхугольнике ABCD (рис. 83) $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4$.

Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Рис. 83

11. В четырёхугольнике ABCD (рис. 83) $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4$.

Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Рис. 83

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, мы используем признак параллельности прямых на основе равенства внутренних накрест лежащих углов.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямые $AD$ и $BC$ и секущую $AC$. Углы $∠1$ и $∠2$ являются внутренними накрест лежащими углами. Из рисунка видно, что $∠1$ — это $∠DAC$, а $∠2$ — это $∠BCA$.

2. По условию задачи дано, что $∠1 = ∠2$. Следовательно, $∠DAC = ∠BCA$.

3. Согласно признаку параллельности двух прямых, если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Таким образом, из равенства $∠DAC = ∠BCA$ следует, что $AD \parallel BC$.

4. Теперь рассмотрим прямые $AB$ и $CD$ и секущую $BD$. Углы $∠4$ и $∠3$ являются внутренними накрест лежащими углами. Из рисунка видно, что $∠4$ — это $∠ABD$, а $∠3$ — это $∠CDB$.

5. По условию задачи дано, что $∠3 = ∠4$. Следовательно, $∠CDB = ∠ABD$.

6. Применяя тот же признак параллельности прямых, из равенства $∠CDB = ∠ABD$ следует, что $AB \parallel CD$.

7. Мы установили, что в четырехугольнике $ABCD$ обе пары противоположных сторон параллельны: $AD \parallel BC$ и $AB \parallel CD$.

8. По определению, четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.