Номер 4, страница 69 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Найдите углы четырёхугольника, если они пропорциональны числам:

1) $3, 4, 5 \text{ и } 8$;

2) $2, 4, 5 \text{ и } 13$.

Является ли этот четырёхугольник выпуклым?

4. Найдите углы четырёхугольника, если они пропорциональны числам:

1) 3, 4, 5 и 8;

2) 2, 4, 5 и 13.

Является ли этот четырёхугольник выпуклым?

Сумма внутренних углов любого четырёхугольника равна $360^\circ$. Для решения задачи введём коэффициент пропорциональности $x$, тогда углы четырёхугольника можно выразить через этот коэффициент и заданные числа.

1)

Пусть углы четырёхугольника равны $3x$, $4x$, $5x$ и $8x$. Составим уравнение, исходя из того, что их сумма равна $360^\circ$:

$3x + 4x + 5x + 8x = 360^\circ$

$20x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{20}$

$x = 18^\circ$

Теперь найдём величину каждого угла:

Первый угол: $3 \cdot 18^\circ = 54^\circ$

Второй угол: $4 \cdot 18^\circ = 72^\circ$

Третий угол: $5 \cdot 18^\circ = 90^\circ$

Четвёртый угол: $8 \cdot 18^\circ = 144^\circ$

Четырёхугольник является выпуклым, если все его внутренние углы меньше $180^\circ$. В данном случае все найденные углы ($54^\circ, 72^\circ, 90^\circ, 144^\circ$) меньше $180^\circ$. Следовательно, этот четырёхугольник является выпуклым.

Ответ: $54^\circ$, $72^\circ$, $90^\circ$, $144^\circ$; является выпуклым.

2)

Пусть углы четырёхугольника равны $2x$, $4x$, $5x$ и $13x$. Составим уравнение:

$2x + 4x + 5x + 13x = 360^\circ$

$24x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{24}$

$x = 15^\circ$

Теперь найдём величину каждого угла:

Первый угол: $2 \cdot 15^\circ = 30^\circ$

Второй угол: $4 \cdot 15^\circ = 60^\circ$

Третий угол: $5 \cdot 15^\circ = 75^\circ$

Четвёртый угол: $13 \cdot 15^\circ = 195^\circ$

Так как один из углов этого четырёхугольника ($195^\circ$) больше $180^\circ$, то он не является выпуклым (является вогнутым).

Ответ: $30^\circ$, $60^\circ$, $75^\circ$, $195^\circ$; не является выпуклым.