Номер 3, страница 69 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. В четырёхугольнике $ABCD$ угол $\angle B$ равен $146^\circ$, а угол $\angle C$ на $32^\circ$ больше угла $\angle A$ и в 4 раза меньше угла $\angle D$. Найдите неизвестные углы четырёхугольника.

3. В четырёхугольнике $ABCD$ угол $B$ равен $146^{\circ}$, а угол $C$ на $32^{\circ}$ больше угла $A$ и в 4 раза меньше угла $D$. Найдите неизвестные углы четырёхугольника.

Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$. Следовательно, для четырёхугольника $ABCD$ справедливо равенство: $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$.

Используем данные из условия задачи:

• $\angle B = 146^\circ$
• Угол $C$ на $32^\circ$ больше угла $A$, то есть $\angle C = \angle A + 32^\circ$.
• Угол $C$ в 4 раза меньше угла $D$, что означает $\angle D = 4 \cdot \angle C$.

Для решения задачи введём переменную. Пусть $\angle A = x$. Тогда мы можем выразить остальные неизвестные углы через $x$:

• $\angle C = x + 32^\circ$
• $\angle D = 4 \cdot \angle C = 4(x + 32^\circ)$

Теперь подставим все известные и выраженные значения в формулу суммы углов четырёхугольника и составим уравнение:

$x + 146^\circ + (x + 32^\circ) + 4(x + 32^\circ) = 360^\circ$

Решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$x + 146 + x + 32 + 4x + 128 = 360$

Приведём подобные слагаемые:

$(x + x + 4x) + (146 + 32 + 128) = 360$

$6x + 306 = 360$

Перенесём 306 в правую часть уравнения:

$6x = 360 - 306$

$6x = 54$

Найдём $x$:

$x = \frac{54}{6}$

$x = 9$

Таким образом, мы нашли величину угла $A$: $\angle A = 9^\circ$.

Теперь вычислим величины остальных неизвестных углов:

$\angle C = x + 32^\circ = 9^\circ + 32^\circ = 41^\circ$

$\angle D = 4 \cdot \angle C = 4 \cdot 41^\circ = 164^\circ$

Выполним проверку, подставив все найденные значения в формулу суммы углов:

$9^\circ + 146^\circ + 41^\circ + 164^\circ = 155^\circ + 205^\circ = 360^\circ$

Сумма углов равна $360^\circ$, следовательно, задача решена верно.

Ответ: $\angle A = 9^\circ$, $\angle C = 41^\circ$, $\angle D = 164^\circ$.