Номер 276, страница 68 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

276. Найдите площадь равнобокой трапеции, диагонали которой перпендикулярны, а высота равна 10 см.

276. Найдите площадь равнобокой трапеции, диагонали которой перпендикулярны, а высота равна 10 см.

Пусть дана равнобокая трапеция с основаниями $a$ и $b$, и высотой $h=10$ см. По условию, диагонали этой трапеции перпендикулярны.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

Докажем, что в равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии.

Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Так как трапеция равнобокая, то треугольники, образованные диагоналями и основаниями (назовем их $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$), являются равнобедренными.

Поскольку диагонали перпендикулярны, угол между ними составляет $90^{\circ}$. Это значит, что треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$ являются не просто равнобедренными, а прямоугольными равнобедренными треугольниками.

Проведем высоту трапеции через точку пересечения диагоналей $O$. Эта высота $h$ будет состоять из двух отрезков: высоты $h_1$ треугольника $\triangle BOC$ и высоты $h_2$ треугольника $\triangle AOD$. Таким образом, $h = h_1 + h_2$.

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник $\triangle BOC$. Его высота $h_1$, проведенная из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе (основанию $b$), является также и медианой. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, $h_1 = \frac{b}{2}$.

Аналогично, для прямоугольного равнобедренного треугольника $\triangle AOD$ его высота $h_2$, проведенная к гипотенузе (основанию $a$), равна половине этой гипотенузы: $h_2 = \frac{a}{2}$.

Теперь выразим общую высоту трапеции $h$ через ее основания:$h = h_1 + h_2 = \frac{b}{2} + \frac{a}{2} = \frac{a+b}{2}$.

Мы получили, что высота трапеции равна ее средней линии $\frac{a+b}{2}$.

Подставим это соотношение в формулу площади трапеции:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = h \cdot h = h^2$.

Зная, что высота $h = 10$ см, находим площадь:$S = 10^2 = 100$ см$^2$.

Ответ: $100$ см$^2$.