Страница 68 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

271. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 17 см и 33 см, а диагонали делят её острые углы пополам.

271. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 17 см и 33 см, а диагонали делят её острые углы пополам.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. По условию, $AD = 33$ см и $BC = 17$ см. Так как трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны: $AB = CD$.

Диагональ $AC$ делит острый угол $\angle DAB$ пополам, следовательно, $\angle DAC = \angle CAB$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), углы $\angle DAC$ и $\angle BCA$ являются накрест лежащими при секущей $AC$. Значит, $\angle DAC = \angle BCA$.

Из двух предыдущих равенств следует, что $\angle CAB = \angle BCA$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, и его боковые стороны $AB$ и $BC$ равны.

Таким образом, боковая сторона трапеции равна ее меньшему основанию: $AB = BC = 17$ см.

Для нахождения площади трапеции необходима ее высота. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к основанию $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AH$, который высота отсекает от большего основания, можно найти по формуле:

$AH = \frac{AD - BC}{2}$

Подставим известные значения:

$AH = \frac{33 - 17}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нем гипотенуза $AB = 17$ см, а катет $AH = 8$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $BH$, который является высотой трапеции ($h$):

$h^2 = AB^2 - AH^2$

$h^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$

$h = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь, зная оба основания и высоту, можем вычислить площадь трапеции по формуле:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$

$S = \frac{33 + 17}{2} \cdot 15 = \frac{50}{2} \cdot 15 = 25 \cdot 15 = 375$ см².

Ответ: 375 см².

272. Разность оснований прямоугольной трапеции равна 9 см, а её боковые стороны относятся как 4 : 5. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ равна 13 см.

272. Разность оснований прямоугольной трапеции равна 9 см, а её боковые стороны относятся как $4:5$. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ равна 13 см.

Пусть дана прямоугольная трапеция, у которой $a$ и $b$ — длины оснований ($b > a$), $h$ — высота (которая также является одной из боковых сторон), а $c$ — вторая, наклонная боковая сторона.

Из условия задачи имеем следующие данные:

1. Разность оснований: $b - a = 9$ см.
2. Отношение боковых сторон: $h : c = 4 : 5$.
3. Длина меньшей диагонали: $d_{min} = 13$ см.

Проведем из вершины, соединяющей меньшее основание и наклонную сторону, высоту к большему основанию. В результате образуется прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является наклонная сторона $c$, а катетами — высота трапеции $h$ и отрезок, равный разности оснований $b - a$.

Согласно теореме Пифагора для этого треугольника:
$c^2 = h^2 + (b - a)^2$

Из соотношения $h : c = 4 : 5$ введем коэффициент пропорциональности $k$, где $k > 0$:
$h = 4k$
$c = 5k$

Подставим эти выражения и известную разность оснований в уравнение теоремы Пифагора:
$(5k)^2 = (4k)^2 + 9^2$
$25k^2 = 16k^2 + 81$
$25k^2 - 16k^2 = 81$
$9k^2 = 81$
$k^2 = 9$
$k = 3$

Теперь мы можем найти точные длины боковых сторон:
Высота $h = 4k = 4 \cdot 3 = 12$ см.
Наклонная сторона $c = 5k = 5 \cdot 3 = 15$ см.

В прямоугольной трапеции диагонали являются гипотенузами прямоугольных треугольников. Квадраты их длин можно выразить через высоту и основания:
$d_1^2 = h^2 + a^2$
$d_2^2 = h^2 + b^2$

Поскольку по определению $b > a$, то $b^2 > a^2$, и, следовательно, $d_2^2 > d_1^2$. Это означает, что меньшая диагональ ($d_{min}$) та, которая в своей формуле использует меньшее основание $a$.
$d_{min}^2 = h^2 + a^2$

Подставим известные значения $d_{min} = 13$ см и $h = 12$ см в это уравнение:
$13^2 = 12^2 + a^2$
$169 = 144 + a^2$
$a^2 = 169 - 144$
$a^2 = 25$
$a = 5$ см (длина не может быть отрицательной).

Таким образом, длина меньшего основания равна 5 см. Теперь найдем длину большего основания:
$b = a + 9 = 5 + 9 = 14$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле, использующей полусумму оснований и высоту:
$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$

Подставим найденные значения $a=5$ см, $b=14$ см и $h=12$ см:
$S = \frac{5 + 14}{2} \cdot 12$
$S = \frac{19}{2} \cdot 12$
$S = 19 \cdot 6 = 114$ см².

Ответ: 114 см².

273. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 4 см и 10 см, а углы при большем основании — $45^\circ$ и $60^\circ$.

273. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 4 см и 10 см, а углы при большем основании — $45^\circ$ и $60^\circ$.

Для нахождения площади трапеции используется формула $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

Дано: трапеция, основания которой равны $b = 4$ см и $a = 10$ см. Углы при большем основании равны $45^\circ$ и $60^\circ$.

Обозначим трапецию как $ABCD$, где $AD$ — большее основание ($AD=10$), а $BC$ — меньшее ($BC=4$). Пусть $\angle A = 45^\circ$ и $\angle D = 60^\circ$.

Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ к основанию $AD$. Длина этих высот равна $h$, то есть $BH = CK = h$. Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, так как $BC \parallel AD$ и $BH, CK$ — перпендикуляры к $AD$. Следовательно, $HK = BC = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. Угол $\angle A = 45^\circ$, значит, $\triangle ABH$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Отсюда следует, что катеты равны: $AH = BH = h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CKD$. Угол $\angle D = 60^\circ$. Из соотношения сторон в прямоугольном треугольнике имеем: $\tan(\angle D) = \frac{CK}{KD}$
$\tan(60^\circ) = \frac{h}{KD}$
Поскольку $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:
$KD = \frac{h}{\sqrt{3}}$

Длина большего основания $AD$ складывается из длин отрезков $AH$, $HK$ и $KD$: $AD = AH + HK + KD$
Подставим известные и выраженные через $h$ значения: $10 = h + 4 + \frac{h}{\sqrt{3}}$

Решим это уравнение, чтобы найти высоту $h$: $10 - 4 = h \left(1 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$
$6 = h \left(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}\right)$
$h = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}$
Для упрощения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} - 1)$: $h = \frac{6\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{6(3 - \sqrt{3})}{3-1} = \frac{6(3 - \sqrt{3})}{2} = 3(3 - \sqrt{3})$ см.

Теперь, зная высоту, мы можем вычислить площадь трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{10+4}{2} \cdot 3(3 - \sqrt{3})$
$S = \frac{14}{2} \cdot 3(3 - \sqrt{3}) = 7 \cdot 3(3 - \sqrt{3}) = 21(3 - \sqrt{3})$ см$^2$.
Также ответ можно представить в виде $S = 63 - 21\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $21(3 - \sqrt{3})$ см$^2$.

274. Радиус окружности, вписанной в равнобокую трапецию, равен 8 см, а один из отрезков, на которые точка касания вписанной окружности делит боковую сторону, — 4 см. Найдите площадь трапеции.

274. Радиус окружности, вписанной в равнобокую трапецию, равен 8 см, а один из отрезков, на которые точка касания вписанной окружности делит боковую сторону, — 4 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями AD и BC, в которую вписана окружность. Пусть r - радиус вписанной окружности, $r = 8$ см.

Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности:
$h = 2r = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Пусть K — точка касания вписанной окружности с боковой стороной AB. Точка K делит сторону AB на два отрезка, AK и BK. По условию, длина одного из них равна 4 см. Пусть, для определенности, $BK = 4$ см.

Рассмотрим треугольник AOB, где O — центр вписанной окружности. Так как центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе, то AO и BO являются биссектрисами углов A и B трапеции. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Сумма углов в треугольнике AOB равна $180^\circ$. Углы треугольника AOB при вершинах A и B равны:
$\angle OAB = \frac{1}{2}\angle A$
$\angle OBA = \frac{1}{2}\angle B$
Следовательно, $\angle OAB + \angle OBA = \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.
Тогда третий угол треугольника AOB, $\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Таким образом, треугольник AOB является прямоугольным.

Отрезок OK является радиусом, проведенным в точку касания K, поэтому $OK \perp AB$. Значит, OK — высота в прямоугольном треугольнике AOB, проведенная к гипотенузе AB. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, ее квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:
$OK^2 = AK \cdot BK$
Подставим известные значения $OK = r = 8$ см и $BK = 4$ см:
$8^2 = AK \cdot 4$
$64 = 4 \cdot AK$
$AK = \frac{64}{4} = 16$ см.

Теперь мы можем найти длины сторон трапеции. Длина боковой стороны:
$AB = CD = AK + BK = 16 + 4 = 20$ см.

По свойству описанного четырехугольника, суммы его противоположных сторон равны:
$AD + BC = AB + CD$
$AD + BC = 20 + 20 = 40$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h$
Подставим известные значения:
$S = \frac{40}{2} \cdot 16 = 20 \cdot 16 = 320$ см².

Ответ: 320 см².

275. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 36 см. Точка касания окружности, вписанной в трапецию, делит её большую боковую сторону на отрезки, длины которых относятся как $1 : 4$. Найдите площадь трапеции.

275. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 36 см. Точка касания окружности, вписанной в трапецию, делит её большую боковую сторону на отрезки, длины которых относятся как 1 : 4. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AB$ — меньшая боковая сторона, перпендикулярная основаниям $BC$ и $AD$. Следовательно, $AB$ является высотой трапеции.

По условию, $AB = h = 36$ см.

В трапецию вписана окружность. Это означает, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: $BC + AD = AB + CD$

Поскольку трапеция прямоугольная, её высота равна диаметру вписанной окружности: $h = d = 2r$, где $r$ — радиус вписанной окружности.
$r = h / 2 = 36 / 2 = 18$ см.

Пусть точка $K$ — точка касания окружности на большей боковой стороне $CD$. По условию, точка $K$ делит сторону $CD$ на отрезки, отношение которых равно $1 : 4$. Пусть длины этих отрезков равны $x$ и $4x$. $CK = x$, $KD = 4x$.
Тогда вся боковая сторона $CD = CK + KD = x + 4x = 5x$.

По свойству касательных, проведенных из одной вершины к окружности, отрезки касательных от вершины до точек касания равны. Пусть точки касания на основаниях $BC$ и $AD$ — это $M$ и $N$ соответственно. Тогда $CM = CK = x$ и $DN = DK = 4x$.

Для прямоугольной трапеции отрезки оснований от вершин прямых углов до точек касания равны радиусу вписанной окружности. $BM = r = 18$ см.
$AN = r = 18$ см.

Теперь мы можем выразить длины оснований через $x$:
$BC = BM + MC = 18 + x$
$AD = AN + ND = 18 + 4x$

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Получим прямоугольный треугольник $CHD$.
Катет $CH$ равен высоте трапеции: $CH = AB = 36$ см.
Катет $HD$ равен разности оснований: $HD = AD - AH = AD - BC = (18 + 4x) - (18 + x) = 3x$.
Гипотенуза $CD = 5x$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $CHD$: $CH^2 + HD^2 = CD^2$
$36^2 + (3x)^2 = (5x)^2$
$1296 + 9x^2 = 25x^2$
$16x^2 = 1296$
$x^2 = 1296 / 16$
$x^2 = 81$
$x = 9$ см (так как длина отрезка не может быть отрицательной).

Теперь найдем сумму оснований. Для этого можно найти длину стороны $CD$: $CD = 5x = 5 \cdot 9 = 45$ см.
Используя свойство вписанной окружности: $BC + AD = AB + CD = 36 + 45 = 81$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$
$S = \frac{81}{2} \cdot 36 = 81 \cdot 18 = 1458$ см².

Ответ: 1458 см².

276. Найдите площадь равнобокой трапеции, диагонали которой перпендикулярны, а высота равна 10 см.

276. Найдите площадь равнобокой трапеции, диагонали которой перпендикулярны, а высота равна 10 см.

Пусть дана равнобокая трапеция с основаниями $a$ и $b$, и высотой $h=10$ см. По условию, диагонали этой трапеции перпендикулярны.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

Докажем, что в равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии.

Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Так как трапеция равнобокая, то треугольники, образованные диагоналями и основаниями (назовем их $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$), являются равнобедренными.

Поскольку диагонали перпендикулярны, угол между ними составляет $90^{\circ}$. Это значит, что треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$ являются не просто равнобедренными, а прямоугольными равнобедренными треугольниками.

Проведем высоту трапеции через точку пересечения диагоналей $O$. Эта высота $h$ будет состоять из двух отрезков: высоты $h_1$ треугольника $\triangle BOC$ и высоты $h_2$ треугольника $\triangle AOD$. Таким образом, $h = h_1 + h_2$.

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник $\triangle BOC$. Его высота $h_1$, проведенная из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе (основанию $b$), является также и медианой. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, $h_1 = \frac{b}{2}$.

Аналогично, для прямоугольного равнобедренного треугольника $\triangle AOD$ его высота $h_2$, проведенная к гипотенузе (основанию $a$), равна половине этой гипотенузы: $h_2 = \frac{a}{2}$.

Теперь выразим общую высоту трапеции $h$ через ее основания:$h = h_1 + h_2 = \frac{b}{2} + \frac{a}{2} = \frac{a+b}{2}$.

Мы получили, что высота трапеции равна ее средней линии $\frac{a+b}{2}$.

Подставим это соотношение в формулу площади трапеции:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = h \cdot h = h^2$.

Зная, что высота $h = 10$ см, находим площадь:$S = 10^2 = 100$ см$^2$.

Ответ: $100$ см$^2$.

277. Площадь равнобокой трапеции равна 144 $\text{см}^2$, а её диагонали перпендикулярны. Найдите высоту трапеции.

277. Площадь равнобокой трапеции равна $144\text{ см}^2$, а её диагонали перпендикулярны. Найдите высоту трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция, площадь которой $S = 144 \text{ см}^2$. Обозначим её основания как $a$ и $b$, а высоту — $h$. Согласно условию, диагонали этой трапеции взаимно перпендикулярны.

Для решения этой задачи ключевым является свойство равнобокой трапеции, у которой диагонали перпендикулярны: её высота равна её средней линии. Докажем это.

Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке O. Проведём через эту точку высоту трапеции. Эта высота разделится точкой O на два отрезка, которые являются высотами двух треугольников, образованных диагоналями и основаниями трапеции.

Поскольку трапеция равнобокая, треугольники, прилежащие к основаниям, являются равнобедренными. А так как диагонали перпендикулярны, то эти треугольники являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. В нашем случае гипотенузами являются основания трапеции $a$ и $b$.

Таким образом, один отрезок высоты трапеции (высота треугольника с основанием $a$) равен $\frac{a}{2}$, а второй отрезок (высота треугольника с основанием $b$) равен $\frac{b}{2}$.

Полная высота трапеции $h$ равна сумме длин этих двух отрезков: $h = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a+b}{2}$

Выражение $\frac{a+b}{2}$ — это формула средней линии трапеции ($m$). Следовательно, мы доказали, что для такой трапеции высота равна средней линии: $h = m$.

Теперь воспользуемся общей формулой площади трапеции: $S = m \cdot h$

Заменив в этой формуле среднюю линию $m$ на равную ей высоту $h$, получим: $S = h \cdot h = h^2$

Из условия задачи мы знаем, что $S = 144 \text{ см}^2$. Подставим это значение в полученное уравнение: $h^2 = 144$

Отсюда находим высоту $h$: $h = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$

Ответ: 12 см.