Номер 271, страница 68 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

271. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 17 см и 33 см, а диагонали делят её острые углы пополам.

271. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 17 см и 33 см, а диагонали делят её острые углы пополам.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. По условию, $AD = 33$ см и $BC = 17$ см. Так как трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны: $AB = CD$.

Диагональ $AC$ делит острый угол $\angle DAB$ пополам, следовательно, $\angle DAC = \angle CAB$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), углы $\angle DAC$ и $\angle BCA$ являются накрест лежащими при секущей $AC$. Значит, $\angle DAC = \angle BCA$.

Из двух предыдущих равенств следует, что $\angle CAB = \angle BCA$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, и его боковые стороны $AB$ и $BC$ равны.

Таким образом, боковая сторона трапеции равна ее меньшему основанию: $AB = BC = 17$ см.

Для нахождения площади трапеции необходима ее высота. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к основанию $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AH$, который высота отсекает от большего основания, можно найти по формуле:

$AH = \frac{AD - BC}{2}$

Подставим известные значения:

$AH = \frac{33 - 17}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нем гипотенуза $AB = 17$ см, а катет $AH = 8$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $BH$, который является высотой трапеции ($h$):

$h^2 = AB^2 - AH^2$

$h^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$

$h = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь, зная оба основания и высоту, можем вычислить площадь трапеции по формуле:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$

$S = \frac{33 + 17}{2} \cdot 15 = \frac{50}{2} \cdot 15 = 25 \cdot 15 = 375$ см².

Ответ: 375 см².