Номер 269, страница 67 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

269. Найдите площадь трапеции ABCD, изображённой на рисунке 82 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 82

a

AB = 12, BC = 6, CD = $3\sqrt{21}$, $\angle A = 60^\circ$

б

CD = 4, $\angle A = 30^\circ$, $\angle D = 90^\circ$

269. Найдите площадь трапеции ABCD, изображённой на рисунке 82 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 82

а

Трапеция ABCD со сторонами AB = 12, BC = 6, CD = $3\sqrt{21}$ и углом A = $60^\circ$.

б

Трапеция ABCD со стороной CD = 4, углом A = $30^\circ$ и углом D = $90^\circ$. Стороны AB и BC равны.

а)

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

1. Проведём высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Угол $\angle A = 60^{\circ}$, гипотенуза $AB = 12$ см.

2. Найдём высоту трапеции $h = BH$:

$h = BH = AB \cdot \sin(\angle A) = 12 \cdot \sin(60^{\circ}) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

3. Найдём отрезок $AH$, который является проекцией стороны $AB$ на основание $AD$:

$AH = AB \cdot \cos(\angle A) = 12 \cdot \cos(60^{\circ}) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

4. Проведём высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$. Высота $CK = BH = 6\sqrt{3}$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CKD$. Гипотенуза $CD = 3\sqrt{21}$ см.

5. По теореме Пифагора найдём отрезок $KD$:

$KD^2 = CD^2 - CK^2 = (3\sqrt{21})^2 - (6\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 21 - 36 \cdot 3 = 189 - 108 = 81$.

$KD = \sqrt{81} = 9$ см.

6. Нижнее основание $AD$ равно сумме отрезков $AH$, $HK$ и $KD$. Отрезок $HK$ равен верхнему основанию $BC$, так как $BCKH$ — прямоугольник. $HK = BC = 6$ см.

$AD = AH + HK + KD = 6 + 6 + 9 = 21$ см.

7. Теперь вычислим площадь трапеции:

$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h = \frac{21+6}{2} \cdot 6\sqrt{3} = \frac{27}{2} \cdot 6\sqrt{3} = 27 \cdot 3\sqrt{3} = 81\sqrt{3}$ см².

Ответ: $81\sqrt{3}$ см².

б)

Данная трапеция $ABCD$ является прямоугольной, так как угол $\angle D = 90^{\circ}$. Следовательно, её боковая сторона $CD$ является высотой, $h = CD = 4$ см. По отметкам на чертеже $AB = BC$.

1. Проведём высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. Так как $BCDH$ — прямоугольник, то $BH = CD = 4$ см и $HD = BC$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Угол $\angle A = 30^{\circ}$, катет $BH = 4$ см.

3. Найдём гипотенузу $AB$. Катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы, поэтому $AB = 2 \cdot BH = 2 \cdot 4 = 8$ см.

4. Так как $BC = AB$, то верхнее основание $BC = 8$ см.

5. Найдём второй катет $AH$ в треугольнике $ABH$ по теореме Пифагора:

$AH^2 = AB^2 - BH^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48$.

$AH = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

6. Нижнее основание $AD = AH + HD$. Так как $HD = BC = 8$ см, то $AD = 4\sqrt{3} + 8$ см.

7. Вычислим площадь трапеции:

$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h = \frac{(4\sqrt{3} + 8) + 8}{2} \cdot 4 = \frac{16 + 4\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = (8 + 2\sqrt{3}) \cdot 4 = 32 + 8\sqrt{3}$ см².

Ответ: $32 + 8\sqrt{3}$ см².