Номер 270, страница 67 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

270. Основания прямоугольной трапеции равны 3 см и 5 см. Найдите площадь трапеции, если её большая диагональ является биссектрисой прямого угла трапеции.

270. Основания прямоугольной трапеции равны 3 см и 5 см. Найдите площадь трапеции, если её большая диагональ является биссектрисой прямого угла трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой основания $AD$ и $BC$ параллельны, а боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям. Это означает, что углы $\angle A$ и $\angle B$ прямые, а высота трапеции равна длине стороны $AB$.

По условию, основания равны 3 см и 5 см. Пусть меньшее основание $BC = 3$ см, а большее основание $AD = 5$ см. Высота трапеции $h = AB$.

В трапеции две диагонали: $AC$ и $BD$. Чтобы определить, какая из них большая, рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$. Применим к ним теорему Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = h^2 + 3^2 = h^2 + 9$

$BD^2 = AB^2 + AD^2 = h^2 + 5^2 = h^2 + 25$

Так как $5^2 > 3^2$, то $h^2 + 25 > h^2 + 9$, а значит $BD^2 > AC^2$. Следовательно, $BD$ является большей диагональю трапеции.

Согласно условию, большая диагональ ($BD$) является биссектрисой прямого угла. Диагональ $BD$ выходит из вершины $B$, где угол $\angle B = 90^\circ$. Таким образом, $BD$ делит угол $\angle B$ на два равных угла:

$\angle ABD = \angle DBC = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABD$. Нам известно, что $\angle A = 90^\circ$ и $\angle ABD = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти третий угол:

$\angle ADB = 180^\circ - \angle A - \angle ABD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$

Поскольку в треугольнике $\triangle ABD$ два угла равны ($\angle ABD = \angle ADB = 45^\circ$), этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Значит, $AB = AD$.

Так как длина основания $AD = 5$ см, то и высота трапеции $h = AB = 5$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.

Подставим известные значения:

$S = \frac{5 + 3}{2} \cdot 5 = \frac{8}{2} \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20$ см².

Ответ: 20 см².