Номер 273, страница 68 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

273. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 4 см и 10 см, а углы при большем основании — $45^\circ$ и $60^\circ$.

273. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 4 см и 10 см, а углы при большем основании — $45^\circ$ и $60^\circ$.

Для нахождения площади трапеции используется формула $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

Дано: трапеция, основания которой равны $b = 4$ см и $a = 10$ см. Углы при большем основании равны $45^\circ$ и $60^\circ$.

Обозначим трапецию как $ABCD$, где $AD$ — большее основание ($AD=10$), а $BC$ — меньшее ($BC=4$). Пусть $\angle A = 45^\circ$ и $\angle D = 60^\circ$.

Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ к основанию $AD$. Длина этих высот равна $h$, то есть $BH = CK = h$. Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, так как $BC \parallel AD$ и $BH, CK$ — перпендикуляры к $AD$. Следовательно, $HK = BC = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. Угол $\angle A = 45^\circ$, значит, $\triangle ABH$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Отсюда следует, что катеты равны: $AH = BH = h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CKD$. Угол $\angle D = 60^\circ$. Из соотношения сторон в прямоугольном треугольнике имеем: $\tan(\angle D) = \frac{CK}{KD}$
$\tan(60^\circ) = \frac{h}{KD}$
Поскольку $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:
$KD = \frac{h}{\sqrt{3}}$

Длина большего основания $AD$ складывается из длин отрезков $AH$, $HK$ и $KD$: $AD = AH + HK + KD$
Подставим известные и выраженные через $h$ значения: $10 = h + 4 + \frac{h}{\sqrt{3}}$

Решим это уравнение, чтобы найти высоту $h$: $10 - 4 = h \left(1 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$
$6 = h \left(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}\right)$
$h = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}$
Для упрощения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} - 1)$: $h = \frac{6\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{6(3 - \sqrt{3})}{3-1} = \frac{6(3 - \sqrt{3})}{2} = 3(3 - \sqrt{3})$ см.

Теперь, зная высоту, мы можем вычислить площадь трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{10+4}{2} \cdot 3(3 - \sqrt{3})$
$S = \frac{14}{2} \cdot 3(3 - \sqrt{3}) = 7 \cdot 3(3 - \sqrt{3}) = 21(3 - \sqrt{3})$ см$^2$.
Также ответ можно представить в виде $S = 63 - 21\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $21(3 - \sqrt{3})$ см$^2$.