Номер 274, страница 68 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

274. Радиус окружности, вписанной в равнобокую трапецию, равен 8 см, а один из отрезков, на которые точка касания вписанной окружности делит боковую сторону, — 4 см. Найдите площадь трапеции.

274. Радиус окружности, вписанной в равнобокую трапецию, равен 8 см, а один из отрезков, на которые точка касания вписанной окружности делит боковую сторону, — 4 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями AD и BC, в которую вписана окружность. Пусть r - радиус вписанной окружности, $r = 8$ см.

Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности:
$h = 2r = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Пусть K — точка касания вписанной окружности с боковой стороной AB. Точка K делит сторону AB на два отрезка, AK и BK. По условию, длина одного из них равна 4 см. Пусть, для определенности, $BK = 4$ см.

Рассмотрим треугольник AOB, где O — центр вписанной окружности. Так как центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе, то AO и BO являются биссектрисами углов A и B трапеции. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Сумма углов в треугольнике AOB равна $180^\circ$. Углы треугольника AOB при вершинах A и B равны:
$\angle OAB = \frac{1}{2}\angle A$
$\angle OBA = \frac{1}{2}\angle B$
Следовательно, $\angle OAB + \angle OBA = \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.
Тогда третий угол треугольника AOB, $\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Таким образом, треугольник AOB является прямоугольным.

Отрезок OK является радиусом, проведенным в точку касания K, поэтому $OK \perp AB$. Значит, OK — высота в прямоугольном треугольнике AOB, проведенная к гипотенузе AB. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, ее квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:
$OK^2 = AK \cdot BK$
Подставим известные значения $OK = r = 8$ см и $BK = 4$ см:
$8^2 = AK \cdot 4$
$64 = 4 \cdot AK$
$AK = \frac{64}{4} = 16$ см.

Теперь мы можем найти длины сторон трапеции. Длина боковой стороны:
$AB = CD = AK + BK = 16 + 4 = 20$ см.

По свойству описанного четырехугольника, суммы его противоположных сторон равны:
$AD + BC = AB + CD$
$AD + BC = 20 + 20 = 40$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h$
Подставим известные значения:
$S = \frac{40}{2} \cdot 16 = 20 \cdot 16 = 320$ см².

Ответ: 320 см².