Номер 268, страница 67 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

268. Найдите площадь равнобокой трапеции, меньшее основание которой равно 7 см, боковая сторона — $5\sqrt{2}$ см, а угол при меньшем основании — $135^\circ$.

268. Найдите площадь равнобокой трапеции, меньшее основание которой равно 7 см, боковая сторона – $5\sqrt{2}$ см, а угол при меньшем основании – $135^{\circ}$.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где BC и AD — основания.
Из условия задачи нам известны:
• меньшее основание $b = BC = 7$ см;
• боковая сторона $l = AB = CD = 5\sqrt{2}$ см;
• угол при меньшем основании $\angle B = \angle C = 135^\circ$.

Площадь трапеции находится по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ — большее основание, $b$ — меньшее основание, а $h$ — высота.

1. Найдем угол при большем основании.
Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Следовательно, угол при большем основании:
$\angle A = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

2. Найдем высоту трапеции.
Проведем из вершины B высоту BH к основанию AD. Мы получим прямоугольный треугольник ABH, в котором гипотенуза AB равна $5\sqrt{2}$ см, а угол $\angle A = 45^\circ$.
Высота трапеции $h$ равна катету BH. Найдем его через синус угла A:
$h = BH = AB \cdot \sin(\angle A) = 5\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ)$.
Поскольку $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:
$h = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \cdot \frac{2}{2} = 5$ см.

3. Найдем большее основание.
В прямоугольном треугольнике ABH найдем катет AH.
$AH = AB \cdot \cos(\angle A) = 5\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5$ см.
Так как трапеция равнобокая, если провести вторую высоту CE из вершины C, то отрезок $ED$ будет равен отрезку $AH$.
$ED = AH = 5$ см.
Большее основание $a = AD$ состоит из суммы отрезков $AH$, $HE$ и $ED$. Отрезок $HE$ равен меньшему основанию BC, т.е. $HE = 7$ см.
$a = AD = AH + HE + ED = 5 + 7 + 5 = 17$ см.

4. Вычислим площадь трапеции.
Теперь у нас есть все необходимые данные для расчета площади:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{17+7}{2} \cdot 5 = \frac{24}{2} \cdot 5 = 12 \cdot 5 = 60$ см².

Ответ: $60$ см².