Номер 267, страница 67 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

267. Основания равнобокой трапеции равны 9 см и 27 см, а диагональ — 30 см. Найдите площадь трапеции.

267. Основания равнобокой трапеции равны 9 см и 27 см, а диагональ — 30 см. Найдите площадь трапеции.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся формулой: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.

По условию задачи, основания равнобокой трапеции равны $a = 9$ см и $b = 27$ см, а диагональ $d = 30$ см. Нам необходимо найти высоту $h$.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где $AD = 27$ см — большее основание, $BC = 9$ см — меньшее основание, и $AC = 30$ см — диагональ. Проведем из вершины C высоту CH на основание AD. Получим прямоугольный треугольник ACH, в котором AC — гипотенуза, а CH и AH — катеты. Высота трапеции $h$ равна катету CH.

Чтобы найти катет CH, нам нужно сначала найти длину катета AH. В равнобокой трапеции отрезок, отсекаемый высотой, проведенной из вершины тупого угла к большему основанию, равен полусумме оснований, а отрезок от вершины до основания высоты равен полуразности оснований. В нашем случае, если провести вторую высоту BK из вершины B, то отрезок $HD = \frac{AD - BC}{2}$.

Вычислим длину отрезка HD:

$HD = \frac{27 - 9}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Теперь найдем длину отрезка AH. Так как CH — высота, точка H лежит на основании AD. Длина AH равна разности длины большего основания AD и длины отрезка HD.

$AH = AD - HD = 27 - 9 = 18$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. По теореме Пифагора:

$AC^2 = AH^2 + CH^2$

Отсюда можем выразить высоту $h = CH$:

$h^2 = AC^2 - AH^2$

$h^2 = 30^2 - 18^2 = 900 - 324 = 576$

$h = \sqrt{576} = 24$ см.

Теперь, когда мы знаем высоту, мы можем вычислить площадь трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{9+27}{2} \cdot 24 = \frac{36}{2} \cdot 24 = 18 \cdot 24 = 432$ см$^2$.

Ответ: 432 см$^2$.