Номер 260, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

260. Точка $K$ делит медиану $CM$ треугольника $ABC$ в отношении $2 : 3$, считая от точки $C$. Найдите отношение площадей треугольников:

1) ACK и BCM;

2) AKM и ABC.

260. Точка K делит медиану $CM$ треугольника $ABC$ в отношении $2 : 3$, считая от точки $C$. Найдите отношение площадей треугольников:

1) $ACK$ и $BCM$;

2) $AKM$ и $ABC$.

Обозначим площадь треугольника $XYZ$ как $S_{XYZ}$.

Поскольку $CM$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $AB$, она делит треугольник $ABC$ на два треугольника с равной площадью:

$S_{ACM} = S_{BCM} = \frac{1}{2} S_{ABC}$

Это следует из того, что у треугольников $ACM$ и $BCM$ равные основания ($AM = MB$, так как $M$ — середина $AB$) и общая высота, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$.

Точка $K$ делит медиану $CM$ в отношении $CK : KM = 2 : 3$. Это означает, что всю медиану $CM$ можно разделить на $2+3=5$ равных частей. Тогда:

$CK = \frac{2}{2+3} CM = \frac{2}{5} CM$

$KM = \frac{3}{2+3} CM = \frac{3}{5} CM$

Рассмотрим треугольники $ACK$ и $ACM$. У них общая высота, проведенная из вершины $A$ на прямую $CM$. Отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту, равно отношению их оснований.

$\frac{S_{ACK}}{S_{ACM}} = \frac{CK}{CM}$

Подставляя известное отношение $CK$ к $CM$, получаем:

$\frac{S_{ACK}}{S_{ACM}} = \frac{\frac{2}{5}CM}{CM} = \frac{2}{5}$

Отсюда $S_{ACK} = \frac{2}{5} S_{ACM}$.

Так как $S_{ACM} = S_{BCM}$, мы можем заменить $S_{ACM}$ на $S_{BCM}$:

$S_{ACK} = \frac{2}{5} S_{BCM}$

Следовательно, отношение площадей треугольников $ACK$ и $BCM$ равно $2:5$.

Ответ: 2:5.

Рассмотрим треугольники $AKM$ и $ACM$. Аналогично первому пункту, у них общая высота, проведенная из вершины $A$ на прямую $CM$, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований.

$\frac{S_{AKM}}{S_{ACM}} = \frac{KM}{CM}$

Подставляя известное отношение $KM$ к $CM$, получаем:

$\frac{S_{AKM}}{S_{ACM}} = \frac{\frac{3}{5}CM}{CM} = \frac{3}{5}$

Отсюда $S_{AKM} = \frac{3}{5} S_{ACM}$.

Теперь воспользуемся тем, что $S_{ACM} = \frac{1}{2} S_{ABC}$:

$S_{AKM} = \frac{3}{5} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABC}) = \frac{3}{10} S_{ABC}$

Следовательно, отношение площадей треугольников $AKM$ и $ABC$ равно $3:10$.

Ответ: 3:10.