Номер 256, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

256. Перпендикуляр, проведённый из середины основания равнобедренного треугольника к боковой стороне, делит её на отрезки длиной 1 см и 16 см. Найдите площадь треугольника.

256. Перпендикуляр, проведённый из середины основания равнобедренного треугольника к боковой стороне, делит её на отрезки длиной 1 см и 16 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Боковые стороны $AB = BC$. Пусть $M$ — середина основания $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой. Следовательно, $BM$ — высота треугольника, и $\triangle BMC$ — прямоугольный ($\angle BMC = 90^\circ$).

Пусть $MH$ — перпендикуляр, проведенный из точки $M$ к боковой стороне $BC$. По условию, точка $H$ делит сторону $BC$ на отрезки длиной 1 см и 16 см. Таким образом, длина боковой стороны $BC$ равна сумме длин этих отрезков:

$BC = 1 + 16 = 17$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle BMC$ (с прямым углом $M$) и $\triangle MHC$ (с прямым углом $H$). У этих треугольников общий острый угол $C$. Следовательно, $\triangle BMC \sim \triangle MHC$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$$ \frac{MC}{BC} = \frac{HC}{MC} $$

Отсюда получаем важное соотношение: $MC^2 = BC \cdot HC$.

Существует два возможных случая в зависимости от того, какой из отрезков ($BH$ или $HC$) прилегает к вершине $C$.

Случай 1: $HC = 16$ см и $BH = 1$ см.

Используем выведенное соотношение для нахождения половины основания $MC$:

$MC^2 = 17 \cdot 16 = 272$.

$MC = \sqrt{272} = \sqrt{16 \cdot 17} = 4\sqrt{17}$ см.

Теперь найдем высоту $BM$ из прямоугольного треугольника $BMC$ по теореме Пифагора ($BM^2 + MC^2 = BC^2$):

$BM^2 = BC^2 - MC^2 = 17^2 - 272 = 289 - 272 = 17$.

$BM = \sqrt{17}$ см.

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} AC \cdot BM$. Так как $AC = 2 \cdot MC$, то $S = MC \cdot BM$.

$S = 4\sqrt{17} \cdot \sqrt{17} = 4 \cdot 17 = 68$ см$^2$.

Случай 2: $HC = 1$ см и $BH = 16$ см.

Аналогично находим $MC$:

$MC^2 = 17 \cdot 1 = 17$.

$MC = \sqrt{17}$ см.

Найдем высоту $BM$ из прямоугольного треугольника $BMC$:

$BM^2 = BC^2 - MC^2 = 17^2 - 17 = 289 - 17 = 272$.

$BM = \sqrt{272} = 4\sqrt{17}$ см.

Вычислим площадь треугольника $ABC$:

$S = MC \cdot BM = \sqrt{17} \cdot 4\sqrt{17} = 4 \cdot 17 = 68$ см$^2$.

В обоих возможных случаях площадь треугольника оказывается одинаковой.

Ответ: $68$ см$^2$.